Question

已知

a

=(sinθ，1)，

b

=(1，cosθ)，

c

=(0，3)，-

π

2

＜θ＜

π

2

．
（1）若(4

a

-

c

)∥

b

，求θ；
（2）求|

a

+

b

|的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用向量的線(xiàn)性運(yùn)算和正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求出；
（2）根據(jù)向量的模的計(jì)算公式及三角函數(shù)的運(yùn)算和正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求出．

解答：解：（1）∵4

a

-

c

=4（sinθ，1）-（0，3）=（4sinθ，1），(4

a

-

c

)∥

b

，
∴4sinθcosθ-1=0，∴sin2θ=

1

2

．
∵-

π

2

＜θ＜

π

2

，∴-π＜2θ＜π．
∴2θ=

π

6

或

5π

6

，即θ=

π

12

或

5π

12

．
（2）∵

a

+

b

=（sinθ+1，cosθ+1），
∴|

a

+

b

|=

(sinθ+1)2+(cosθ+1)2

=

3+2(sinθ+cosθ)

=

3+2 2 sin(θ+ π 4 )

，
∵-

π

2

＜θ＜

π

2

，∴-

π

4

＜θ+

π

4

＜

3π

4

，∴-

2

2

＜sin(θ+

π

4

)≤1．
∴1＜3+2

2

sin(θ+

π

4

)≤3+2

2

，
∴1＜

3+2 2 sin(θ+ π 4 )

≤

2

+1，
即|

a

+

b

|∈(1，

2

+1]．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握向量的線(xiàn)性運(yùn)算、模的計(jì)算公式及三角函數(shù)的有關(guān)運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．