Question

3．如圖，長方體ABCD-A′B′C′D′中，AD=2AB=2AA′=2．
（1）求證：A′B⊥平面ADC′；
（2）求二面角D′-AC-D的正切值．

Answer 1

分析 （1）連接AB′，證明A′B⊥C′D，A′B⊥AD，即可證明A′B⊥平面ADC′；
（2）過D作DE⊥AC，垂足為E，連接D′E，則∠D′ED為二面角D′-AC-D的平面角，求出DE，即可求二面角D′-AC-D的正切值．

解答 （1）證明：連接AB′，
∵長方體ABCD-A′B′C′D′中，AB=AA′，
∴A′B⊥AB′，
∴A′B⊥C′D，
∵A′B⊥AD，AD∩C′D=D，
∴A′B⊥平面ADC′；
（2）解：過D作DE⊥AC，垂足為E，連接D′E，則∠D′ED為二面角D′-AC-D的平面角．
△ACD中，由等面積可得DE=$\frac{2×1}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∵DD′=1，
∴二面角D′-AC-D的正切值=$\frac{1}{\frac{2\sqrt{5}}{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角D′-AC-D的正切值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．