已知在平面直角坐標系xOy中的一個橢圓,它的中心在原點,左焦點為F(-
3
,0)
,右頂點為D(2,0).
(1)求該橢圓的標準方程;
(2)過橢圓內(nèi)一點A(1,
1
2
)
作直線l與橢圓交于M,N兩點,若A點恰為線段MN的中點,求直線l的方程.
分析:(1)由左焦點為 F(-
3
,0),右頂點為D(2,0),得到橢圓的長半軸長a,半焦距c,再求得短半軸長b,最后由橢圓的焦點在x軸上求得方程.
(2)設直線方程為y-
1
2
=k(x-1),聯(lián)立直線奉承與橢圓方程,得到M,N兩點的作之間的關(guān)系,根據(jù)A點恰為線段MN的中點求出斜率即可得到結(jié)論.
解答:解:(1)由已知得橢圓的長半軸長a=2,半焦距c=
3
,則短半軸長b=1.
又橢圓的焦點在x軸上,
∴橢圓的標準方程為
x2
4
+y2
=1.
(2)①當直線斜率存在時,設方程為;y-
1
2
=k(x-1),M(x1,y1),N(x2,y2
y-
1
2
=k(x-1)
x2
4
+y2=1
⇒(1+4k2)x2+8k(
1
2
-k)x+4(
1
2
-k)2-4=0.
x1+x2=-
8k(
1
2
-k)
1+4k2

∵A點恰為線段MN的中點,
x1+x2
2
=1⇒-
4k(
1
2
-k)
1+4k2
=1
,解得k=-
1
2

此時直線l的方程為:y-
1
2
=-
1
2
(x-1),即x+2y-2=0;
②當斜率不存在時,直線為x=1:顯然A點不是線段MN的中點.
綜上,所求直線l的方程為:x+2y-2=0.
點評:本題的考點是直線與圓錐曲線的綜合問題,主要考查橢圓的幾何性質(zhì),考查橢圓的標準方程,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,(2)問也可以考慮“平方差法”解決.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
已知在平面直角坐標系xOy內(nèi),點P(x,y)在曲線C:
x=1+cosθ
y=sinθ
為參數(shù),θ∈R)上運動.以Ox為極軸建立極坐標系,直線l的極坐標方程為ρcos(θ+
π
4
)=0

(Ⅰ)寫出曲線C的標準方程和直線l的直角坐標方程;
(Ⅱ)若直線l與曲線C相交于A、B兩點,點M在曲線C上移動,試求△ABM面積的最大值,并求此時M點的坐標.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知在平面直角坐標系中的一個橢圓,它的中心在原點,左焦點為F(-
3
,0)
,且過點D(2,0).
(1)求該橢圓的標準方程;
(2)設點A(1,
1
2
)
,若P是橢圓上的動點,求線段PA的中點M的軌跡方程.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(坐標系與參數(shù)方程選做題)已知在平面直角坐標系xoy中,圓C的參數(shù)方程為
x=
3
+3cosθ
y=1+3sinθ
,(θ為參數(shù)),以ox為極軸建立極坐標系,直線l的極坐標方程為ρcos(θ+
π
6
)
=0,則圓C截直線l所得的弦長為
4
2
4
2

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知在平面直角坐標系中,O(0,0),A(1,-2),B(1,1),C(2,-1),動點M(x,y)滿足條件
-2≤
OM
OA
≤2
1≤
OM
OB
≤2
,則z=
OM
OC
的最大值為( 。
A、-1B、0C、3D、4

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知在平面直角坐標系xOy中的一個橢圓,它的中心在原點,左焦點為F(-
3
,0)
,右頂點為D(2,0),設點A(1,
1
2
)

(Ⅰ)求該橢圓的標準方程;
(Ⅱ)若P是橢圓上的動點,求線段PA中點M的軌跡方程;
(Ⅲ)是否存在直線l,滿足l過原點O并且交橢圓于點B、C,使得△ABC面積為1?如果存在,寫出l的方程;如果不存在,請說明理由.

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