Question

【題目】設(shè)拋物線C:與直線交于A、B兩點(diǎn).

（1）當(dāng)取得最小值為時(shí)，求的值.

（2）在（1）的條件下，過點(diǎn)作兩條直線PM、PN分別交拋物線C于M、N（M、N不同于點(diǎn)P）兩點(diǎn)，且的平分線與軸平行，求證：直線MN的斜率為定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析，定值.

【解析】

（1）先確定直線過拋物線焦點(diǎn)，再根據(jù)拋物線定義求，最后根據(jù)最小值求的值；

（2）先確定PM、PN的斜率互為相反數(shù)，再設(shè)直線PM方程，與拋物線聯(lián)立解得M坐標(biāo)，類似可得N點(diǎn)坐標(biāo)，最后利用斜率公式求結(jié)果.

（1）由題意知：直線過定點(diǎn)，該點(diǎn)為拋物線焦點(diǎn).

聯(lián)立，消去得：

設(shè)，

有，

…

，當(dāng)時(shí)，

，解得

（2）證明：由已知可知直線PM、PN的斜率存在，且互為相反數(shù)

設(shè)，直線PM的方程為.

聯(lián)立，消去x整理得：.

又4為方程的一個(gè)根，所以，得

同理可得

所以直線MN的斜率為定值.