Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，A（a，0）（a＞0），B（0，a），C（-4，0），D（0，4），設△AOB的外接圓圓心為E．
（1）問圓心E到直線CD的距離是否為定值，若是，求出定值；若不是，說明理由；
（2）問當a取何值時，圓E與直線CD相切，并求出此時⊙E的標準方程．

Answer 1

分析：（1）圓心E到直線CD的距離為定值，理由為：由C和D的坐標，求出直線DC的方程，再由E為直角三角形AOB的外心，可得E為線段AB的中點，由A和B的坐標表示出中點E的坐標，根據(jù)點到直線的距離公式求出圓心E到直線CD的距離d，進而得到d為定值；
（2）令（1）得出的E到直線CD的距離d=r，列出關于a的方程，求出方程的解得到a的值，從而確定出圓E的標準方程．

解答：解：（1）圓心E到直線CD的距離為定值，理由為：
∵C（-4，0），D（0，4），
∴直線CD為y=x+4，又直角三角形的外接圓的圓心E（

a

2

，

a

2

），
由題意得d=

4

2

=2

2

為定值；
（2）∵圓心E到直線CD距離為2

2

為定值，
∴只須圓E半徑

2 a

2

=2

2

，解得a=4，
此時，⊙E的標準方程為（x-2）²+（y-2）²=8．

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，點到直線的距離公式，以及圓的標準方程，當直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑，熟練掌握此性質(zhì)是解本題的關鍵．