Question

設(shè)函數(shù)f（x）=a²lnx-x²+ax，a≠0；
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若f（1）≥e-1，求使f（x）≤e²對x∈[1，e]恒成立的實數(shù)a的值．
（注：e為自然對數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

解：（Ⅰ）因為f（x）=a²lnx-x²+ax，其中x＞0，
所以f′（x）=-2x+a=-．
當(dāng)a＞0時，由f′（x）＞0，得0＜x＜a，∴f（x）的增區(qū)間為（0，a）；
當(dāng)a＜0時，由f′（x）＞0，得，∴f（x）的增區(qū)間為（0，-）；
（Ⅱ）由 f（1）=a-1≥e-1，即a≥e．①
由（Ⅰ）知f（x）在[1，e]內(nèi)單調(diào)遞增，要使f（x）≤e²對x∈[1，e]恒成立，只要f（e）≤e²，則 a²lne-e²+ae≤e²，
∴a²+ae-2e²≤0，
∴（a+2e）（a-e）≤0，∴a≤e，②
綜①②得a=e
分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，再分類討論，由f′（x）＞0，可確定f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）由 f（1）=a-1≥e-1，即a≥e，再根據(jù)f（x）在[1，e]內(nèi)單調(diào)遞增，要使f（x）≤e²對x∈[1，e]恒成立，只要f（e）≤e²，則 a²lne-e²+ae≤e²，由此可得結(jié)論．
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問題，解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)的最大值．