幾何證明選講如圖，已知AD為圓O的直徑，直線BA與圓O相切于點(diǎn)A，直線OB與弦AC垂直并相交于點(diǎn)G，與弧AC相交于M，連接DC，AB=10，AC=12．
（1）求證：BA•DC=GC•AD；
（2）求BM．

【答案】分析：（1）根據(jù)AC⊥OB，及AD是圓O的直徑，得到Rt△AGB和Rt△DCA相似，從而得到，又GC=AG，所以，從而得到證明；
（2）根據(jù)直角三角形中的邊角關(guān)系求得BG，再根據(jù)直角三角形的相似及切割線定理求解即可．
解答：（1）證明：因?yàn)锳C⊥OB，所以∠AGB=90°
又AD是圓O的直徑，所以∠DCA=90°
又因?yàn)椤螧AG=∠ADC（弦切角等于同弧所對(duì)圓周角）（3分）
所以Rt△AGB和Rt△DCA相似
所以
又因?yàn)镺G⊥AC，所以GC=AG
所以，即BA•DC=GC•AD（5分）
（2）解：因?yàn)锳C=12，所以AG=6，
因?yàn)锳B=10，所以
由（1）知：Rt△AGB～Rt△DCA，．所以（8分）
所以AD=15，即圓的直徑2r=15
又因?yàn)锳B2=BM•（BM+2r），即BM2+15BM-100=0
解得BM=5（10分）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的與圓有關(guān)的比例線段、圓周角及相似三角形的判定和性質(zhì)，切割線定理的運(yùn)用的綜合運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)選修4-1：幾何證明選講
如圖，已知C點(diǎn)在⊙O直徑的延長(zhǎng)線上，CA切⊙O于A點(diǎn)，DC是∠ACB的平分線，交AE于F點(diǎn)，交AB于D點(diǎn)．
（1）求∠ADF的度數(shù)；
（2）若AB=AC，求AC：BC．

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（2013•宿遷一模）【選做題】本題包括A、B、C、D四小題，請(qǐng)選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答．若多做，則按作答的前兩題評(píng)分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，已知AB，CD是圓O的兩條弦，且AB是線段CD的 垂直平分線，若AB=6，CD=2
5
，求線段AC的長(zhǎng)度．
B．選修4-2：矩陣與變換（本小題滿分10分）
已知矩陣M=
21
1a
的一個(gè)特征值是3，求直線x-2y-3=0在M作用下的新直線方程．
C．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（本小題滿分10分）
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程是
x=cosα
y=sinα+1
（α是參數(shù)），若以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，取與直角坐標(biāo)系中相同的單位長(zhǎng)度，建立極坐標(biāo)系，求曲線C的極坐標(biāo)方程．
D．選修4-5：不等式選講（本小題滿分10分）
已知關(guān)于x的不等式|ax-1|+|ax-a|≥1的解集為R，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•大連一模）選修4-1：幾何證明選講
如圖，已知圓上的
AC
=
BD
，過C點(diǎn)的圓的切線與BA的延長(zhǎng)線交于E點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：∠ACE=∠BCD；
（Ⅱ）若BE=9，CD=1，求BC的長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•洛陽模擬）選修4-1：幾何證明選講
如圖，已知PE切⊙O于點(diǎn)E，割線PBA交⊙O于A，B兩點(diǎn)，∠APE的平分線和AE，BE分別交于點(diǎn)C，D．
求證：（1）CE=DE；
（2）
CA
CE
=
PE
PB
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

選修4-1：幾何證明選講
如圖，已知AB、CD是圓O的兩條弦，且AB是線段CD的垂直平分線，已知AB=6，CD=2
5
，求線段AC的長(zhǎng)度．

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