Question

【題目】已知函數(shù)

（1）求函數(shù)的極值；

（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）判斷函數(shù)是否存在公切線，如果不存在，請說明理由，如果存在請指出公切線的條數(shù)

Answer 1

【答案】（1）當時，函數(shù)無極值；當時，函數(shù)的極小值為，無極大值. （2）當時，遞增區(qū)間為和，無遞減區(qū)間；當時，遞增區(qū)間為和，遞減區(qū)間為和.（3）存在，兩條

【解析】

（1）求導后，對分類討論，利用導數(shù)的可得結(jié)果；

（2）求導后，對分類討論，利用導數(shù)的符號可得單調(diào)區(qū)間；

（3）設它們的公切線與切于，與切于，利用導數(shù)的幾何意義求出它們的切線，根據(jù)兩條直線重合可得，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性和零點存在性定理可得結(jié)果.

（1），，

當時，，函數(shù)在上遞減，此時函數(shù)無極值；

當時，由，得，由，得，

所以函數(shù)在處取得極小值，極小值為，無極大值，

綜上所述：當時，函數(shù)無極值；當時，函數(shù)的極小值為，無極大值.

（2），定義域為，

，

當，即時，，函數(shù)的遞增區(qū)間為和，無遞減區(qū)間；

當，即時，由，得，解得或，

由，得，解得或，

所以函數(shù)的增區(qū)間為和，遞減區(qū)間為和.

綜上所述：當時，遞增區(qū)間為和，無遞減區(qū)間；

當時，遞增區(qū)間為和，遞減區(qū)間為和.

（3）函數(shù)存在兩條公切線，

理由如下：

假設它們的公切線與切于，與切于，

因為，，

所以在點處的切線方程為，即

在點處的切線方程為，即，

根據(jù)兩條切線重合可得，消去可得，

令，則，

所以在和上遞增，

因為時，,時，，所以函數(shù)在上有且只有一個零點，

因為時， ，時，，

所以函數(shù)在上有且只有一個零點，

所以在和上各有一個實根，

所以它們的公切線有且只有兩條.