Question

已知數(shù)列{a_n}滿足S_n+S_n-1=ta_n²（t＞0，n≥2），且a₁=0，n≥2時，a_n＞0．其中S_n是數(shù)列a_n的前n項(xiàng)和．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（III）若對于n≥2，n∈N*，不等式++…+＜2恒成立，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）充分利用相鄰兩項(xiàng)之間的關(guān)系，利用作差法即可獲得數(shù)列特點(diǎn)．結(jié)合等差數(shù)列的特點(diǎn)根據(jù)分類討論即可獲得問題的解答；
（2）根據(jù)第（1）問題結(jié)論利用裂項(xiàng)的方法即可求的不等式左邊當(dāng)n≥2時的前n項(xiàng)和，進(jìn)而問題轉(zhuǎn)化為t²（1-）＜2對于n≥2，n∈N^*恒成立，再結(jié)合放縮法即可獲得問題的解答．
解答：解：（I）依題意，，
（1）-（2）得a_n+a_n-1=t（a_n²-a_n-1²）（n≥3）．
由已知a_n+a_n-1≠0，故a_n-a_n-1=（n≥3），
由a₁=0，S₂+S₁=ta₂²，得a₂=ta₂²，
∴a₂=0（舍）或a₂=，
即數(shù)列{a_n}從第二項(xiàng)開始是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列．
所以，（n≥2），又當(dāng)n=1時，a₁==0，
所以a_n=（n∈N^﹡）．
（II）設(shè)T_n=++…+
=+++…+
=t²（1-）
要使T_n＜2，對于n≥2，n∈N^*恒成立，只要T_n=t²（1-）＜t²≤2成立，所以0＜t≤．
點(diǎn)評：本題考查的是數(shù)列與不等式的綜合類問題．在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系、等差數(shù)列的知識、分類討論的思想以及恒成立的思想和問題轉(zhuǎn)化的能力．值得同學(xué)們體會反思．