Question

試證：不論正數(shù)a，b，c是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，當n＞1，n∈N且a，b，c互不相等時，都有aⁿ+cⁿ＞2bⁿ．（n∈N）．

Answer 1

證明 （1）設a、b、c為等比數(shù)列，a=

b

q

，c=bq（q＞0且q≠1）
∴aⁿ+cⁿ=

bn

qn

+bⁿqⁿ=bⁿ（

1

qn

+qⁿ）＞2bⁿ

（2）設a、b、c為等差數(shù)列，
則2b=a+c猜想

an+cn

2

＞(

a+c

2

)n（n≥2且n∈N^*）
下面用數(shù)學歸納法證明
①當n=2時，由2（a²+c²）＞（a+c）²，∴

a2+c2

2

＞(

a+c

2

)2
②設n=k時成立，即

ak+ck

2

＞(

a+c

2

)k．
則當n=k+1時，

ak+1+ck+1

2

=

1

4

（a^k+1+c^k+1+a^k+1+c^k+1）＞

1

4

（a^k+1+c^k+1+a^k•c+c^k•a）=

1

4

（a^k+c^k）（a+c）
＞（

a+b

2

）^k•（

a+b

2

）=（

a+b

2

）^k+1
也就是說，等式對n=k+1也成立
由①②知，aⁿ+cⁿ＞2bⁿ對一切自然數(shù)n均成立