Question

1．某單位決定投資3200元建倉庫（長方體狀），高度恒定，它的后墻利用舊墻不花錢，正面用鐵柵，每米造價40元，兩面墻砌磚，每米造價45元，頂部每平方米造價20元．
（1）設(shè)鐵柵長為x米，一堵磚墻長為y米，求函數(shù)y=f（x）的解析式．
（2）為使倉庫總面積S達到最大，正面鐵柵應(yīng)設(shè)計為多長？并求S的最大值．

Answer 1

分析 （1）長為x米，寬為y米，則40x+90y+20xy=3200，可得函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）由40x+90y≥120$\sqrt{xy}$，得$\sqrt{xy}$的取值范圍，即S=xy的取值范圍；由40x=90y，且xy=100，解得x，y的值即可．

解答 解：（1）由題意，知：40x+2y×45+20xy=3200，
所以$f（x）=\frac{320-4x}{9+2x}（0＜x＜80）$
（2）因為40x+90y≥120$\sqrt{xy}$（當且僅當40x=90y時取“=”），
所以：3200≥120$\sqrt{xy}$+20xy，
所以，0＜$\sqrt{xy}$≤10；
所以，S=xy≤100．
當40x=90y時，S取最大值，又xy=100，
所以x=15，y=$\frac{20}{3}$，
所以，正面鐵柵應(yīng)設(shè)計為15米長，S的最大值為100平方米．

點評 本題考查了長方體模型的應(yīng)用，在求面積S=xy最值時，利用基本不等式是關(guān)鍵．