Question

5．下列說法：
①扇形的周長為8cm，面積為4cm²，則扇形的圓心角弧度數(shù)為2rad；
②函數(shù)f（x）=2cosx（sinx+cosx）的最大值為$\sqrt{2}$；
③若α是第三象限角，則$y=\frac{{|sin\frac{α}{2}|}}{{sin\frac{α}{2}}}+\frac{{|cos\frac{α}{2}|}}{{cos\frac{α}{2}}}$的值為0或-2；
④若sinα=sinβ，則α與β的終邊相同；
其中正確的是①．（寫出所有正確答案）

Answer 1

分析 ①根據(jù)扇形的弧長和面積公式進行計算即可．
②根據(jù)三角函數(shù)的有界性進行判斷．
③根據(jù)三角函數(shù)的符號和象限之間的關系進行判斷．
④根據(jù)三角函數(shù)角終邊之間的關系進行判斷．

解答 解：①設扇形的弧長為l，半徑為r，則2r+l=8，$\frac{1}{2}$lr=4，
解得l=4，r=2，
∴扇形的圓心角的弧度數(shù)是：$\frac{4}{2}$=2；故①正確，
②函數(shù)f（x）=2cosx（sinx+cosx）=2sinxcosx+2cos²x=sinx2x+cos2x+1=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1，
則函數(shù)f（x）的最大值為$\sqrt{2}$+1，故②錯誤；
③若α是第三象限角，則$\frac{α}{2}$為第二或第四象限，
若$\frac{α}{2}$為第二象限，則$y=\frac{{|sin\frac{α}{2}|}}{{sin\frac{α}{2}}}+\frac{{|cos\frac{α}{2}|}}{{cos\frac{α}{2}}}$=$\frac{sin\frac{α}{2}}{sin\frac{α}{2}}$-$\frac{cos\frac{α}{2}}{cos\frac{α}{2}}$=1-1=0，
若$\frac{α}{2}$為第四象限，則$y=\frac{{|sin\frac{α}{2}|}}{{sin\frac{α}{2}}}+\frac{{|cos\frac{α}{2}|}}{{cos\frac{α}{2}}}$=-$\frac{sin\frac{α}{2}}{sin\frac{α}{2}}$+$\frac{cos\frac{α}{2}}{cos\frac{α}{2}}$=-1+1=0，
綜上$y=\frac{{|sin\frac{α}{2}|}}{{sin\frac{α}{2}}}+\frac{{|cos\frac{α}{2}|}}{{cos\frac{α}{2}}}$的值為0；故③錯誤，
④若sinα=sinβ，則α=β+2kπ或α=π-β+2kπ，則α與β的終邊相同錯誤，故④錯誤；
故正確的命題是①，
故答案為：①．

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及相應的公式，綜合性較強，難度不大．