Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=1+

2

，過A作AE⊥CD，垂足為E．G、F分別為AD、CE的中點(diǎn)，現(xiàn)將△ADE沿AE折疊，使二面角D-AE-C的平面角為135°．
（Ⅰ）求證：FG∥平面BCD； 
（Ⅱ）求異面直線GF與BD所成角的余弦值； 
（Ⅲ）求二面角A-BD-C的大小．

Answer 1

分析：（I）取AB中點(diǎn)H，連接GH，F(xiàn)H，利用三角形中位線定理，我們易判斷GH∥BD，F(xiàn)H∥BC，進(jìn)而根據(jù)面面平行的判定定理，得到面FHG∥面BCD，結(jié)合面面平行的性質(zhì)，即可得到結(jié)論．
（Ⅱ）延長CE，過D作DO垂直于直線CE的延長線于O，可得：DO⊥平面ABCE，根據(jù)題意可得：DEO=45°，再過O作OM⊥OC，進(jìn)而建立空間直角坐標(biāo)系利用空間向量的有關(guān)知識求出線線角．
（Ⅲ）分別求出兩個平面的法向量，利用空間向量的有關(guān)知識求出兩個向量的夾角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為兩個平面的平面角．

解答：解：（Ⅰ）取AB中點(diǎn)為H，連接GH，F(xiàn)H，又G為AD的中點(diǎn)，
∴GH∥BD．
又因?yàn)镚H?平面BCD，BD?平面BCD，
∴GH∥平面BCD
同理可證FH∥BC，F(xiàn)H∥平面BCD，
所以面FHG∥面BCD，
又∵GF?平面FGH，
∴FG∥平面BCD…（3分）
（Ⅱ）延長CE，過D作DO垂直于直線CE的延長線于O，易證DO⊥平面ABCE
又∵AE⊥EC，AE⊥DE，二面角D-AE-C的平面角為135°
∴∠DEO=45°∵DE=

2

∴OE=1，DO=1
過O作OM⊥OC，
所以以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)M，OC，OD所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．

則D（0，0，1），A（2，1，0），E（0，1，0），C（0，2，0），B（2，2，0），H(2，

3

2

，0)，G(1，

1

2

，

1

2

)，F(0，

3

2

，0)，
所以

GF

=(-1，1，-

1

2

)，

BD

=(-2，-2，1)，
所以cos＜

GF

，

BD

＞=

GF • BD

| GF |•| BD |

=-

1

9

所以異面直線GF與BD所成的角的余弦值為

1

9

…（8分）
（Ⅲ）

DA

=(2，1，-1)，

DB

=(2，2，-1)，

DC

=(0，2，-1)
設(shè)平面ABD的法向量為

n

1=(x，y，z)，
則

n • DA =0 n • DB =0

，即

2x+y-z=0 2x+2y-z=0

∴取

n1

=(x，0，2x)
設(shè)平面BDC的法向量為

n

2=(a，b，c)，
則

n • DC =0 n • DB =0

，即

2b-c=0 2a+2b-c=0

∴

n2

=(0，b，2b)
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

4

5

∴二面角A-BD-C大小為π-arccos

4

5

．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查用線面平行的判定定理證明線面平行，以及求二面角的平面角與異面直線的夾角，而空間角解決的關(guān)鍵是做角，由圖形的結(jié)構(gòu)及題設(shè)條件正確作出平面角來，是求角的關(guān)鍵，也可以根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征建立空間直角坐標(biāo)系利用向量的有關(guān)知識解決空間角等問題．