已知函數(shù)f（x）=-x3+ax2-4，a∈R．
（I）當(dāng)a=3時，求f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最大值和最小值；
（II ）若存在x0∈（0，+∞），使得f（x0）＞0，求a的取值范圍．
（Ⅰ）當(dāng)a=3時，f（x）=-x3+3x2-4，f?（x）=-3x2+6x=-3x（x-2）．
當(dāng)x變化時，f?（x）、f（x）在區(qū)間的變化如下表：
x -1 （-1，0） 0 （0，1） 1
f?（x） - 0 +
f（x） 0 ↘ 極小值-4 ↗ -2
所以f（x）在區(qū)間上的最大值為f（-1）=0，最小值為f（0）=-4．（5分）
（Ⅱ）f?（x）=-3x2+2ax=-3x（x-
2a
3
）．
若a≤0，則當(dāng)x∈（0，+∞）時，f?（x）＜0，此時f（x）單調(diào)遞減，而f（x）＜f（0）=-4，不存在使題設(shè)成立的x0．
若a＞0，則當(dāng)x∈（0，
2a
3
）時，f?（x）＞0，此時f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（
2a
3
，+∞）時，f?（x）＜0，此時f（x）單調(diào)遞減．f（x）在（0，+∞）的最大值為f（
2a
3
）=
4a3
27
-4．所以題設(shè)的x0存在當(dāng)且僅當(dāng)
4a3
27
-4＞0，解得a＞3．
綜上，使題設(shè)成立的a的取值范圍是（3，+∞）．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sinxcosφ+cosxsinφ（其中x∈R，0＜φ＜π）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對稱，求φ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時，f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x，
（1）求x＜0，時f（x）的表達式；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）-a=o有解，求實數(shù)a的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=aInx-ax，（a∈R）
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（文科可參考公式：(Inx)′=
1
x
）
（2）若f′（2）=1，記函數(shù)g（x）=x3+x2•[f′(x)+
m
2
]，若g（x）在區(qū)間（1，3）上總不單調(diào)，求實數(shù)m的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線3x-y+2=0平行，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2010的值為（　�。�
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間（-1，1）上的奇函數(shù)，且對于x∈（-1，1）恒有f’（x）＜0成立，若f（-2a2+2）+f（a2+2a+1）＜0，則實數(shù)a的取值范圍是
 
．

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