Question

（12分）已知數列，滿足，，且（）

（Ⅰ）求數列，的通項公式．

（Ⅱ）求數列的前項和．

 

Answer 1

（Ⅰ），；（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）本題的已知條件中，、在所滿足的關系式中相互交叉表達，顯然無法從現有已知條件中直接求出、的通項公式，所以必須通過構造新的數列來間接求解，再根據關系式中的系數特征可以看出，兩個條件相加、減后得到的結果分別構成等差、等比數列，從而找到本題的突破口，接下來只需通過加、減消元即可得出所求；（Ⅱ）在（Ⅰ）中求得的通項公式的基礎上，只需借助相關前項求和的恰當方法，不難得出所求.

試題解析：（Ⅰ）由題設得，

可令，則（），即，

所以是首項為，公差為1的等差數列，通項公式為，

由題設得，

可令，則，即

，，

所以是首項為，公比為的等比數列，通項公式為．

綜上所述，可得解之得：；；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

顯然是首項為，公比為的等比數列，

是首項為2，公差為的等差數列，

所以數列的前和.

考點：數列的構造思想；等差、等比數列的定義、通項公式及前項和；分組求和的方法；方程思想和發(fā)散思維.