Question

（選做題）
在直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸正半軸為極軸建立坐標系，直線l的極坐標方程為ρsin（θ+

π

4

）=

2

2

，圓C的參數方程為

x=- 2 2 +rcosθ y=- 2 2 +rsinθ

，（θ為參數，r＞0）
（Ⅰ）求圓心C的極坐標；
（Ⅱ）當r為何值時，圓C上的點到直線l的最大距離為3．

Answer 1

分析：（1）利用兩角差的余弦公式及極坐標與直角坐標的互化公式可得直線l的普通方程；利用同角三角函數的基本關系，
消去θ可得曲線C的普通方程，得出圓心的直角坐標后再化面極坐標即可．
（2）由點到直線的距離公式、兩角和的正弦公式，及正弦函數的有界性求得點P到直線l的距離的最大值，最后列出關于r的方程即可求出r值．

解答：解：（1）由 ρsin（θ+

π

4

）=

2

2

，得   ρ（cosθ+sinθ）=

2

2

，∴直線l：x+y-1=0．
由

x=- 2 2 +rcosθ y=- 2 2 +rsinθ

得C：圓心（-

2

2

，-

2

2

）．
∴圓心C的極坐標（1，

5π

4

）．
（2）在圓C：

x=- 2 2 +rcosθ y=- 2 2 +rsinθ

的圓心到直線l的距離為：
d=

|- 2 2 - 2 2 -1|

2

=1+

2

2

∵圓C上的點到直線l的最大距離為3，
∴1+

2

2

+r=3．
r=2-

2

2

∴當r=2-

2

2

時，圓C上的點到直線l的最大距離為3．

點評：本小題主要考查坐標系與參數方程的相關知識，具體涉及到極坐標方程、參數方程與普通方程的互化，點到直線距離公式、三角變換等內容．