Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）與直線l：2x+y-2=0交于A，B兩點，且

OA

⊥

OB

，橢圓C的長軸長是短軸長的2倍．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）求橢圓C的方程；
（Ⅲ）若圓Q：（x-m）²+y²=r²在橢圓C的內(nèi)部，且與直線l相切，求圓Q的半徑r的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由已知a=2b，即可求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）直線l：2x+y-2=0代入橢圓方程，利用韋達定理，結(jié)合向量的數(shù)量積公式，即可求橢圓C的方程；
（Ⅲ）圓與橢圓方程聯(lián)立可得15x²-40mx+4m²+32m+4=0，即15（x-

4

3

m）²=

68

3

m²-32m-4②，由橢圓與圓的對稱性可知，方程②有唯一實根時，圓的半徑達到最大，即可求圓Q的半徑r的取值范圍．

解答： 解：（I）由已知a=2b，∴e=

c

a

=

a2-b2

a

=

3

2

，
（II）橢圓C的方程為

x2

4b2

+

y2

b2

=1(b＞0)，
解方程組

x2 4b2 + y2 b2 =1 2x+y-2=0

，消去y得17x²-32x+16-4b²=0 ①
設A，B兩點的坐標分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
y₁=2-2x₁，y₂=2-2x₂，且x₁，x₂是方程①的兩根，因此△＞0，可得b²＞

4

17

，
x₁+x₂=-

32

17

，x₁x₂=

16-4b2

17

，
∵

OA

⊥

OB

，
∴x₁x₂+y₁y₂=5x₁x₂-4（x₁+x₂）+4=0，
∴5•

16-4b2

17

-4•

32

17

+4=0，
∴b²=1，滿足題意，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1；
（Ⅲ）∵圓Q：（x-m）²+y²=r²與直線l相切，
∴r=

|2m-2|

5

，
圓與橢圓方程聯(lián)立可得15x²-40mx+4m²+32m+4=0，
即15（x-

4

3

m）²=

68

3

m²-32m-4②
由橢圓與圓的對稱性可知，方程②有唯一實根時，圓的半徑達到最大，
∴

68

3

m²-32m-4=0，
∴m=

12± 195

17

；
此時r=

|-10±2 195 |

17 5

，即r=

2 39 ±2 5

17

，
∴圓Q的半徑r的取值范圍為（0，

2 39 +2 5

17

）．

點評：本題考查橢圓的方程，考查橢圓的離心率，考查圓與橢圓方程的位置關(guān)系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．