Question

5．若函數(shù)f（x）=e^x（x²-2x+a）-x恒有兩個零點，則a的取值范圍是（-$∞，1+\frac{1}{e}$）．

Answer 1

分析 令f（x）=0得出x²-2x+a=$\frac{x}{{e}^{x}}$，做出兩函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象判斷兩函數(shù)最值的大小關系，得出a的范圍．

解答 解：令f（x）=0，得x²-2x+a=$\frac{x}{{e}^{x}}$，
令g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，則g′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，
∴g（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
作出y=x²-2x+a和g（x）的函數(shù)圖象，如圖所示：

∵f（x）有兩個零點，∴y=x²-2x+a和g（x）的函數(shù)圖象有兩個交點，
∴a-1＜$\frac{1}{e}$，解得a＜$1+\frac{1}{e}$，
∴a的取值范圍是：（-$∞，1+\frac{1}{e}$）．
故答案為：（-$∞，1+\frac{1}{e}$）．

點評 本題考查了函數(shù)零點與函數(shù)圖象的關系，函數(shù)最值的計算，屬于中檔題．