Question

已知點F（0，1），直線l：y=-1，P為平面上的動點，過點P作直線l的垂線，垂足為Q，且

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

，動點P的軌跡為C，已知圓M過定點D（0，2），圓心M在軌跡C上運動，且圓M與x軸交于A、B兩點，設(shè)|DA|=l₁，|DB|=l₂，則

l1

l2

+

l2

l1

的最大值為

2

2

．

Answer 1

分析：設(shè)出點P（x，y）代入題中向量等式，整理可得到點P軌跡C的方程為x²=4y．由此設(shè)出圓M的方程，求出A、B兩點的坐標(biāo)以及|DA|=l₁，|DB|=l₂的表達(dá)式，代入式子

l1

l2

+

l2

l1

整理后利用基本不等式求最值，即可得到答案．

解答：解：設(shè)P（x，y），則Q（x，-1），
∵

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

，∴（0，y+1）•（-x，2）=（x，y-1）•（x，-2）．
即2（y+1）=x²-2（y-1），即x²=4y，所以動點P的軌跡C的方程x²=4y．
設(shè)圓M的圓心坐標(biāo)為M（a，b），則a²=4b．…①
圓M的半徑為|MD|=

a2+(b-2)2

，圓M的方程為（x-a）²+（y-b）²=a²+（b-2）²．
令y=0，則（x-a）²+b²=a²+（b-2）²，整理得，x²-2ax+4b-4=0．…②
由①、②解得，x=a±2．
不妨設(shè)A（a-2，0），B（a+2，0），
∴l(xiāng)₁=

(a-2)2+4

，l₂=

(a+2)2+4

可得

l1

l2

+

l2

l1

=2

(a2+8)2 a4+64

=2

1+ 16a2 a4+64

，…③
當(dāng)a≠0時，由③得，

l1

l2

+

l2

l1

=2

1+ 16a2 a2+ 64 a2

≤2

1+ 16 2×8

=2

2

，當(dāng)且僅當(dāng)a=±2

2

時等號成立．
當(dāng)a=0時，由③得

l1

l2

+

l2

l1

=2
綜上所述，當(dāng)a=±2

2

時，

l1

l2

+

l2

l1

的最大值為2

2

．
故答案為：2

2

點評：本小題主要考查圓的方程、拋物線方程與簡單性質(zhì)、基本不等式求最值等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力和運算求解能力，屬于中檔題．