Question

已知函數(shù)y=|cosx+sinx|．
（1）畫出函數(shù)在x∈[-

π

4

，

7π

4

]的簡圖；
（2）寫出函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；試問：當(dāng)x為何值時(shí)，函數(shù)有最大值？最大值是多少？
（3）若x是△ABC的一個(gè)內(nèi)角，且y²=1，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析：（1）化簡函數(shù)y=|cosx+sinx|為

2

|sin(x+

π

4

)|，然后畫出函數(shù)在x∈[-

π

4

，

7π

4

]的簡圖；
（2）直接求出函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；結(jié)合圖象容易推出，函數(shù)的最大值，以及x的值．
（3）x是△ABC的一個(gè)內(nèi)角，且y²=1，求出x的值，從而判斷△ABC的形狀．

解答：解：（1）∵y=|cosx+sinx|=

2

|sin(x+

π

4

)|，當(dāng)x∈[-

π

4

，

7π

4

]時(shí)，其圖象如圖所示．

（2）函數(shù)的最小正周期是π，其單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-

π

4

，kπ+

π

4

]（k∈Z）．
由圖象可以看出，當(dāng)x=kπ+

π

4

（k∈Z）時(shí)，該函數(shù)的最大值是

2

．
（3）若x是△ABC的一個(gè)內(nèi)角，則有0＜x＜π，
∴0＜2x＜2π．由y²=1，
得|cosx+sinx|²=1?1+sin2x=1．
∴sin2x=0，∴2x=π，x=

π

2

，
故△ABC為直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查余弦函數(shù)的圖象，三角函數(shù)的周期性及其求法，正弦函數(shù)的圖象，三角函數(shù)的最值，考查作圖能力，計(jì)算能力，是中檔題．