Question

已知橢圓C：的離心率為，直線l過點A（4，0），B（0，2），且與橢圓C相切于點P．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）是否存在過點A（4，0）的直線m與橢圓C相交于不同的兩點M、N，使得36|AP|²=35|AM|•|AN|？若存在，試求出直線m的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題得過兩點A（4，0），B（0，2），直線l的方程為x+2y-4=0．因為，所以a=2c，b=．再由直線l與橢圓C相切，能求出橢圓方程．
（Ⅱ）設(shè)直線m的方程為y=k（x-4），由，得（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0．由題意知△=（32k²）²-4（3+4k²）（64k²-12）＞0，解得-＜k＜．設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則，．由此能求出直線m的方程．
解答：解：（Ⅰ）由題得過兩點A（4，0），B（0，2），直線l的方程為x+2y-4=0．…（1分）
因為，所以a=2c，b=．
設(shè)橢圓方程為，
由，消去x得，4y²-12y+12-3c²=0．
又因為直線l與橢圓C相切，所以△=12²-4×4（12-3c²）=0，解得c²=1．
所以橢圓方程為．…（5分）
（Ⅱ）∵直線m的斜率存在，∴設(shè)直線m的方程為y=k（x-4），…（6分）
由，消去y，
整理得（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0．…（7分）
由題意知△=（32k²）²-4（3+4k²）（64k²-12）＞0，
解得-＜k＜．…（8分）
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則，．…（9分）
又直線l：x+2y-4=0與橢圓C：相切，
由，
解得，所以P（1，）．…（10分）
則．所以|AM|•|AN|==．
又•
=•
=（k²+1）（4-x₁）（4-x₂）
=
=（k²+1）（-4×+16）
=（k²+1）•．
所以（k²+1）•=，解得k=．經(jīng)檢驗成立．…（13分）
所以直線m的方程為y=．…（14分）
點評：本題考查橢圓方程的求法，探索直線方程是否存在．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．