Question

已知定點F（0，1）和直線l₁：y=-1，過定點F與直線l₁相切的動圓圓心為點C．
（1）求動點C的軌跡方程；
（2）過點F在直線l₂交軌跡于兩點P、Q，交直線l₁于點R，求

RP

•

RQ

的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點C到點F的距離等于它到l₁的距離，依據(jù)拋物線的定義可知點C的軌跡是以F為焦點，l₁為準(zhǔn)線的拋物線，進(jìn)而求得其軌跡方程．
（2）設(shè)出直線l₂的方程與拋物線方程聯(lián)立消去y，設(shè)出P，Q的坐標(biāo)，根據(jù)韋達(dá)定理表示出x₁+x₂和x₁x₂的表達(dá)式，進(jìn)而可得點R的坐標(biāo)，表示出

RP

•

RQ

，根據(jù)均值不等式求得其最小值．

解答：解：（1）由題設(shè)點C到點F的距離等于它到l₁的距離，
∴點C的軌跡是以F為焦點，l₁為準(zhǔn)線的拋物線
∴所求軌跡的方程為x²=4y
（2）由題意直線l₂的方程為y=kx+1，
與拋物線方程聯(lián)立消去y得x²-4kx-4=0．
記P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．
因為直線PQ的斜率k≠0，易得點R的坐標(biāo)為(-

2

k

，-1)

RP

•

RQ

=(x1+

2

k

，y1+1)•(x2+

2

k

，y2+1)
=(x1+

2

k

)(x2+

2

k

)+(kx1+2)(kx2+2)
=(1+k2)x1x2+(

2

k

+2k)(x1+x2)+

4

k2

+4
=-4(1+k2)+4k(

2

k

+2k)+

4

k2

+4
=4(k2+

1

k2

)+8，
∵k2+

1

k2

≥2，當(dāng)且僅當(dāng)k²=1時取到等號．

RP

•

RQ

≥4×2+8=16，即

RP

•

RQ

的最小值為16

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系．突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，