Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²-16x+q+3，問：是否存在常數(shù)（t≥0）t，當x∈[t，10]時，f（x）的值域為區(qū)間D，且D的長度為12-t．

Answer 1

分析：由已知中二次函數(shù)的解析式為f（x）=x²-16x+q+3，我們可得x∈[t，10]時，f（x）的值域可能為[f（8），f（t）]，或[f（8），f（10）]，或[f（t），f（10）]，然后根據(jù)值域的長度為12-t．構(gòu)造方程，解方程即可得到答案．

解答：解：當

t＜8 8-t≥10-8 t≥0

時，即0≤t≤6時，f（x）的值域為：[f（8），f（t）]，
即[q-61，t²-16t+q+3]
∴t²-16t+q+3-（q-61）=t²-16t+64=12-t
即t²-15t+52=0
∴t=

15± 17

2

，經(jīng)檢驗t=

15+ 17

2

不合題意，舍去．
當

t＜8 8-t＜10-8 t≥0

時，即6≤t＜8時，f（x）的值域為：[f（8），f（10）]，即[q-61，q-57]
∴q-57-（q-61）=4=12-t
∴t=8
經(jīng)檢驗t=8不合題意，舍去
當t≥8時，f（x）的值域為：[f（t），f（10）]，即[t²-16t+q+3，q-57]
∴q-57-（t²-16t+q+3）=-（t²-16t+60）=12-t
∴t²-17t+72=0
∴t=8或t=9
經(jīng)檢驗t=

15- 17

2

或8或t=9滿足題意，
所以存在常數(shù)t（t≥0），當x∈[t，10]時，f（x）的值域為區(qū)間D，且D的長度為12-t．

點評：本題考查的知識點是二次函數(shù)的性質(zhì)，其中根據(jù)二次函數(shù)在定區(qū)間上的值域，分類討論t取不同值時，函數(shù)f（x）的值域，將問題轉(zhuǎn)化為方程問題是解答本題的關(guān)鍵．