Question

有三個(gè)生活小區(qū)，分別位于A，B，C三點(diǎn)處，且，．今計(jì)劃合建一個(gè)變電站，為同時(shí)方便三個(gè)小區(qū)，準(zhǔn)備建在BC的垂直平分線上的P點(diǎn)處，建立坐標(biāo)系如圖，且．
（Ⅰ）若希望變電站P到三個(gè)小區(qū)的距離和最小，點(diǎn)P應(yīng)位于何處？
（Ⅱ）若希望點(diǎn)P到三個(gè)小區(qū)的最遠(yuǎn)距離為最小，點(diǎn)P應(yīng)位于何處？

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）方法一：∠PBO=α，表示出點(diǎn)P到A，B，C的距離之和為y，利用導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的最小值；
方法二：設(shè)點(diǎn)P（0，b）（0≤b≤40），P到A，B，C的距離之和為，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值．
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P（0，b）（0≤b≤40），則|PA|=40-b，點(diǎn)P到A，B，C三點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為g（b）求出
g（b）=，當(dāng)0≤b≤5時(shí)，g（b）=40-b在[0，5]上是減函數(shù)，當(dāng)5＜b≤40時(shí)，在（5，40]上是增函數(shù)，推出g（b）＞g（5）=35，得到當(dāng)b=5時(shí)，g（b）_min=35，這時(shí)點(diǎn)P在OA上距O點(diǎn)5km．
解答：解：在Rt△AOB中，y=k₂x，則（1分）
（Ⅰ）方法一：∠PBO=α（），
點(diǎn)P到A，B，C的距離之和為（5分），令y′=0即，
又，從而
當(dāng)時(shí)，y′＜0；當(dāng)時(shí)，y'＞0．
∴當(dāng)時(shí)，取得最小值
此時(shí)，
即點(diǎn)P為OA的中點(diǎn)．（8分）
方法二：設(shè)點(diǎn)P（0，b）（0≤b≤40），
則P到A，B，C的距離之和為，
求導(dǎo)得（5分）
由f'（b）=0即，解得b=20
當(dāng)0≤b＜20時(shí)，f′（b）＜0；當(dāng)20＜b≤40時(shí)，f'（b）＞0
∴當(dāng)b=20時(shí)，f（b）取得最小值，此時(shí)點(diǎn)P為OA的中點(diǎn)．（8分）
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P（0，b）（0≤b≤40），則|PA|=40-b，
點(diǎn)P到A，B，C三點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為g（b）
①若|PA|≥|PB|即，則g（b）=40-b；
②若|PA|＜|PB|即，則；
∴g（b）=（11分）
當(dāng)0≤b≤5時(shí)，g（b）=40-b在[0，5]上是減函數(shù)，∴g（b）_min=g（5）=35
當(dāng)5＜b≤40時(shí)，在（5，40]上是增函數(shù)，∴g（b）＞g（5）=35
∴當(dāng)b=5時(shí)，g（b）_min=35，這時(shí)點(diǎn)P在OA上距O點(diǎn)5km．（14分）
點(diǎn)評：本題考查兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，考查分析問題解決問題的能力，是中檔題．