Question

【題目】已知圓C的圓心在直線上，且圓C與x軸交于兩點，.

（1）求圓C的方程；

（2）已知圓M:，設為坐標平面上一點，且滿足:存在過點且互相垂直的直線和有無數對，它們分別與圓C和圓M相交，且圓心C到直線的距離是圓心M到直線的距離的2倍，試求所有滿足條件的點的坐標

Answer 1

【答案】（1）（2）或

【解析】

（1）圓心在上，從而得到圓心坐標和半徑，得到圓的方程；（2）根據題意設直線斜率為，表示出和的方程，從而表示出圓心C到直線的距離和圓心M到直線的距離，整理后與無關，得到，的方程組，解得的坐標.

（1）因為，在圓上，

所以圓心在弦的垂直平分線上.

由即，

即，，

故圓的方程為

（2）由題意知直線和的斜率均存在，和互相垂直，設斜率為，

設點，直線，直線，

則點到直線的距離是點到直線的距離的2倍，

從而，

化簡得或，

又因為關于的方程有無數多解，

則或，

解得或，

故點的坐標為或.