Question

已知函數f（x）=|x|（x-a），a＞0．
（1）作出函數f（x）的圖象；
（2）寫出函數f（x）的單調區(qū)間；
（3）當x∈[0，1]時，由圖象寫出f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）化簡函數的解析式為f（x）=

x(x-a)，x≥0 -x(x-a)，x＜0

，再利用二次函數的圖象特征作出函數的圖象．
（2）由（1）結合函數的圖象可得函數f（x）的單調減區(qū)間以及單調增區(qū)間．
（3）分當

a

2

≥1 和當0＜

a

2

＜1兩種情況，結合圖象利用函數的單調性求出函數的最小值．

解答：解：（1）函數f（x）=|x|（x-a）=

x(x-a)，x≥0 -x(x-a)，x＜0

，如圖所示：
（2）由（1）可得函數f（x）的單調減區(qū)間為（0，

a

2

），單調增區(qū)間為（-∞，0），（

a

2

，+∞）．
（3）x＞0時，f（x）=x²-ax．
當

a

2

≥1，即a≥2時，f_min（x）=f（1）=1-a．
當0＜

a

2

＜1，即0＜a＜2時，f_min（x）=f（

a

2

）=-

a2

4

．

點評：本題主要考查二次函數的圖象特征，帶有絕對值的函數，根據函數的解析式求作函數的圖象，利用單調性求函數的最值，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．