Question

4．函數(shù)f（x）=|e^x-bx|，其中e為自然對數(shù)的底．
（1）當b=1時，求曲線f（x）在x=1處的切線方程；
（2）若函數(shù)y=f（x）有且只有一個零點，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）記g（x）=e^x-bx，當b=1時，g′（x）=e^x-1，從而可得f′（1）=g′（1）=e-1，由此可求切線方程；
（2）f（x）=0同解于g（x）=0，因此，只需g（x）=0有且只有一個解，即方程e^x-bx=0有且只有一個解，因為x=0不滿足方程，所以方程同解于b=$\frac{{e}^{x}}{x}$，分類討論可得當x∈（0，+∞）時，方程有且只有一解等價于b=e；當x∈（-∞，0）時，方程有且只有一解等價于b∈（-∞，0），從而可得b的取值范圍．

解答 解：（1）記g（x）=e^x-bx．
當b=1時，g′（x）=e^x-1．
當x＞0時，g′（x）＞0，所以g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．
又g（0）=1＞0，所以當x∈（0，+∞）時，g（x）＞0．
所以當x∈（0，+∞）時，f（x）=|g（x）|=g（x），
所以f′（1）=g′（1）=e-1．
所以曲線y=f（x）在點（1，e-1）處的切線方程為：y-（e-1）=（e-1）（x-1），
即y=（e-1）x．  
（2）f（x）=0同解于g（x）=0，因此，只需g（x）=0有且只有一個解，
即方程e^x-bx=0有且只有一個解．
因為x=0不滿足方程，所以方程同解于b=$\frac{{e}^{x}}{x}$．  
令h（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，由h′（x）=$\frac{（x-1）{e}^{x}}{{x}^{2}}$=0得x=1．
當x∈（1，+∞）時，h′（x）＞0，h（x）單調遞增，h（x）∈（e，+∞）；
當x∈（0，1）時，h′（x）＜0，h（x）單調遞減，h（x）∈（e，+∞）；
所以當x∈（0，+∞）時，方程b=$\frac{{e}^{x}}{x}$有且只有一解等價于b=e．
當x∈（-∞，0）時，h（x）單調遞減，且h（x）∈（-∞，0），
從而方程b=$\frac{{e}^{x}}{x}$有且只有一解等價于b∈（-∞，0）．
綜上所述，b的取值范圍為（-∞，0）∪{e}．

點評 本題考查導數(shù)知識的運用：求切線方程和函數(shù)的單調性，考查函數(shù)的零點問題，注意運用轉化思想，考查分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．