Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=BC=AB=2，AB⊥BC，求二面角B₁-A₁C-C₁的大�。�

Answer 1

【答案】分析：建立空間直角坐標(biāo)系，求出2個平面的法向量的坐標(biāo)，設(shè)二面角的大小為θ，顯然θ為銳角，
設(shè)2個法向量的夾角φ，利用2個向量的數(shù)量積可求cosφ，則由cosθ=|cosφ|求出二面角的大小θ．
解答：解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系．則A（2，0，0），C（0，2，0），A₁（2，0，2），B₁（0，0，2），C₁（0，2，2），
設(shè)AC的中點(diǎn)為M，
∵BM⊥AC，BM⊥CC₁．
∴BM⊥平面A₁C₁C，
即=（1，1，0）是平面A₁C₁C的一個法向量．
設(shè)平面A₁B₁C的一個法向量是n=（x，y，z）．=（-2，2，-2），
=（-2，0，0），
∴
令z=1，解得x=0，y=1．
∴n=（0，1，1），
設(shè)法向量n與的夾角為φ，二面角B₁-A₁C-C₁的大小為θ，顯然θ為銳角．
∵cosθ=|cosφ|==，解得：θ=．
∴二面角B₁-A₁C-C₁的大小為．
點(diǎn)評：本題考查利用向量求二面角的大小為的方法，設(shè)二面角的大小為θ，2個平面法向量的夾角φ，則θ和φ 相等或互補(bǔ)，這兩個角的余弦值相等或相反．