已知Sn是正項數(shù)列{an}的前n項和，且an+
1
an
=2Sn，那么S10等于（　�。�
分析：由Sn是正項數(shù)列{an}的前n項和，且an+
1
an
=2Sn，分別令n=1，2，3，解得a1=1．a(chǎn)2=
2
-1.a3=
3
-
2
．由此猜想an=
n
-
n-1
．從而能求出S10．
解答：解：∵Sn是正項數(shù)列{an}的前n項和，且an+
1
an
=2Sn，
∴a1+
1
a1
=2a1，解得a1=1．
a2+
1
a2
=2+2a2，解得a2=
2
-1．
a3+
1
a3
=2
2
+2a3，解得a3=
3
-
2
．
…
由此猜想an=
n
-
n-1
．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當n=1時，a1=1成立．
②假設(shè)當n=k時，成立，即ak=
k
-
k-1
，
則當n=k+1時，ak+1-
1
ak+1
=2
k
+2ak+1，
解得ak+1=
k+1
-
k
，也成立．
∴an=
n
-
n-1
．
∴S10=1+（
2
-1）+（
3
-
2
）+…+（
10
-3）=
10
．
故選B．
點評：本題考查數(shù)列的前n項和公式的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行猜想．
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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知Sn是正項數(shù)列an的前n項和，且an+
1
an
=2Sn，那么an的通項公式為（　　）
A、an=
n
+
n-1
B、an=
n+1
-
n
C、an=
n
-
n-1
D、an=
n+1
+
n

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知Sn是正項數(shù)列{an}的前n項和，且
Sn
是
1
4
與（an+1）2的等比中項．
（1）求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列；
（2）若bn=
an
2n
，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn；
（3）若bn≤
1
4
m2-m-
1
2
對一切正整數(shù)n恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知Sn是正項數(shù)列{an}的前n項和，且Sn=
1
4
a
2
n
+
1
2
an-
3
4

（1）求數(shù)列{an}的通項公式；     
（2）若an=2nbn，求數(shù)列{bn}的前n項和；
（3）數(shù)列{kn}滿足kn+1=3kn-1，k1=1，當n≥2時證明：
a1
2k2-2
+
a2
2k3-2
+
a3
2k4-2
+…+
an-1
2kn-2
＜
8
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2008-2009學(xué)年福建省泉州市南安一中高二（上）年期末數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知Sn是正項數(shù)列{an}的前n項和，且是與（an+1）2的等比中項．
（1）求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列；
（2）若，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn；
（3）若對一切正整數(shù)n恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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