（2006•重慶一模）已知兩點M（-2，0），N（2，0），動點P（x，y）在y軸上的射影為H，|
PH
|是2和
PM
•
PN
的等比中項．
（I）求動點P的軌跡方程；
（II）若以點M、N為焦點的雙曲線C過直線x+y=1上的點Q，求實軸最長的雙曲線C的方程．
分析：（I）先用坐標(biāo)表示出向量
PH
=(-x，0)，
PM
=(-2-x，-y)，
PN
=(2-x，-y)，進而利用|
PH
|是2和
PM
•
PN
的等比中項，可得(|
PH
|)2=2
PM
•
PN
，從而求出動點P的軌跡方程；
（II）若以點M、N為焦點的雙曲線C過直線x+y=1上的點Q，且Q在右支上，N（2，0）關(guān)于直線x+y=1的對稱點為E（1，-1），則|QE|=|QN|，所以雙曲線C的實軸長2a=||QM|-|QN||=||QM|-|QE||≤|ME|=
10
（當(dāng)且僅當(dāng)Q，E．M共線時取“=”），此時，實軸長為2a，最大為
10
；同理若Q在左支上，雙曲線C的實軸長為2a，最大為
10
，從而可求實軸最長的雙曲線C的方程．
解答：解：（I）M（-2，0），N（2，0），設(shè)動點P的坐標(biāo)為（x，y），所以H（0，y），
所以
PH
=(-x，0)，
PM
=(-2-x，-y)，
PN
=(2-x，-y)
∴
PM
•
PN
=x2-4+y2，|  
PH
|2=x2
∵|
PH
|是2和
PM
•
PN
的等比中項
∴(|
PH
|)2=2
PM
•
PN

∴x2=2（x2-4+y2）
∴
x2
8
+
y2
4
=1為所求動點P的軌跡方程；
（II）若以點M、N為焦點的雙曲線C過直線x+y=1上的點Q，且Q在右支上，N（2，0）關(guān)于直線x+y=1的對稱點為E（1，-1），則|QE|=|QN|
∴雙曲線C的實軸長2a=||QM|-|QN||=||QM|-|QE||≤|ME|=
10
（當(dāng)且僅當(dāng)Q，E．M共線時取“=”），此時，實軸長為2a，最大為
10

同理若Q在左支上，雙曲線C的實軸長為2a，最大為
10

∴雙曲線C的實半軸長為a=
10
2

∵c=
1
2
|MN|=2
∴b2=c2-a2=
3
2

∴實軸最長的雙曲線C的方程為
x2
5
2
-
y2
3
2
=1．
點評：本題以向量為載體，考查向量的坐標(biāo)運算，考查動點的軌跡方程，考查學(xué)生分析解決問題的能力，綜合性較強．
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b
=(
x
x-2
，
1
x-2
)，
c
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b
•
c
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|．
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