已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，以原點(diǎn)為圓心，橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線x+y+
2
=0相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)斜率不為零的直線l與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A，B，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-a，0），點(diǎn)D（0，y0）在線段AB的垂直平分線上，且
DA
•
DB
=4，求y0的值
（3）若過(guò)點(diǎn)M（1，0）的直線與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，如果-
3
5
≤
OP
•
OQ
≤-
2
9
（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），且滿足|
PM
|+|
MQ
|=t
PM
•
MQ
，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
專題：平面向量及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題
分析：（1）橢圓與直線的位置關(guān)系，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)求解．（2）聯(lián)立方程組，中點(diǎn)問(wèn)題，結(jié)合韋達(dá)定理整體求解．
（3）先討論當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，再討論直線的斜率不為0，根據(jù)方程（1+4k2）x2+16k2x+（16k2-4）=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求解得出t=
4
3
1+
2
m2+1

，最后利用函數(shù)求解．
解答： 解：（1）由題可得：e=
c
a
3
2
．
∵以原點(diǎn)為圓心，橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線x+y+
2
=0相切，
∴
|0+0+
2
|
12+12
=b，解得b=1．
再由 a2=b2+c2，可解得：a=2．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
4
+y2=1
（2）由（1）可知A（-2，0）．
設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為（x3，y3），直線l的斜率為k（k≠0），
則直線l的方程為y=k（x+2），于是A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組
y=k(x+2)
x2
4
+y2=1

由方程組消去y并整理，得（1+4k2）x2+16k2x+（16k2-4）=0
∴-2x3=
16k2-4
1+4k2
，∴x3=
2-8k2
1+4k2
，從而y3=
4k 
1+4k2
，
設(shè)線段AB的中點(diǎn)為E，則E的坐標(biāo)為(-
8k2
1+4k2
，
2k 
1+4k2
)
∵K≠0時(shí)，∴線段AB的垂直平分線方程為y-
2k 
1+4k2
=-
1
k
(x+
8k2
1+4k2
)
令x=0，解得y0=
6k 
1+4k2
由
DA
=(-2，-y0)，
DB
=(x3，y3-y0)
∴
DA
•
DB
=-2x3-y0(y3-y0)=
-2(2-8k2)
1+4k2
+
6k 
1+4k2
(
4k
1+4k2
+
6k
1+4k2
)
整理得7k2=2，故k=±
14
7
所以y0=±
2
14
5

（3）當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，
OP
•
OQ
=-4∉[-
3
5
，-
2
9
]，不成立；
∵直線的斜率不為0，
設(shè)P（x1，y1）（y1＞0），Q（x2，y2）（y2＜0），
直線的方程可設(shè)為：x=my+1，
代入橢圓方程
x2
4
+y2=1得：（m2+4）y2+2my-3=0
∴y1+y2=
-2m
m2+4
，y1y2=
-3
m2+4
，
而x1x2=（my1+1）（my2+1）=
4-4m2
4+m2
，
∴，
OP
•
OQ
═x1x2+y1y2=
1-4m2
m2+4
，
即-
3
5
≤
1-4m2
m2+4
≤-
2
9
，解得
1
2
≤m2≤1；
∵|
PM
|=
(x1-1)2+
y
2
1
=
m2+1
-y1；|
MQ
|=
(x1-1)2+
y
2
2
=-
m2+1
-y2；
又∵|
PM
|+|
MQ
|=t
PM
-
MQ
=t|
PM
|-|
MQ
|，
∴t=
1
|
MQ
|
+
1
|
PM
|
=
1
m2+1
（
1
y1
-
1
y2
）=
1
m2+1
（
y2-y1
y 1y2
）
=
1
m2+1
•
-
(y1+y2)2-4y1y2
y 1y2
=
1
m2+1
•
4
m2+3
3
=
4
3
1+
2
m2+1

∴當(dāng)
1
2
≤m2≤1時(shí)，解得
4
2
3
≤t≤
4
21
9
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考察了直線與橢圓的位置關(guān)系，方程，平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用，屬于難題，運(yùn)算量很大．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知正四棱錐S-ABCD的所有棱長(zhǎng)都等于a，過(guò)不相鄰的兩條側(cè)棱作截面SAC，則截面面積為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

下列敘述中：
①函數(shù)f（x）=xα（α∈R）的圖象可能通過(guò)坐標(biāo)系中任何一個(gè)象限；
②函數(shù)f（x）=loga（mx2-mx+1）（a＞0，a≠1）定義域?yàn)镽，則m∈（0，4）；
③若min{m，n}=
m (m≤n)
n (m＞n)
，則函數(shù)f（x）=min{x
1
3
，2x-2，1-3x}存在最大值；
④函數(shù)f（x）=loga（ax-1）（a＞0，a≠1）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增；
⑤已知函數(shù)f（x）=x3+bx+cloga（
x2+1
+x）+2（a＞0，a≠1，b，c∈R），若x＞0時(shí)，f（x）≥5，則x＜0時(shí)，有f（x）≤-1．
其中，正確命題的序號(hào)是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)m，n∈R，若直線（m+1）x+（n+1）y-2=0與圓（x-1）2+（y-1）2=1相切，則mn的取值范圍是（　　）
A、[3-2
2
，3+2
2
]
B、（-∞，3-2
2
]∪[3+2
2
，+∞）
C、[1-
2
，1+
2
]
D、（-∞，1-
2
]∪[1+
2
，+∞）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F，短軸上端點(diǎn)為B，連接BF并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)A，連接AO并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)D，過(guò)B、F、O三點(diǎn)的圓的圓心為C．
（1）若C的坐標(biāo)為（-1，1），求橢圓方程和圓C的方程；
（2）若AD為圓C的切線，求橢圓的離心率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知等差數(shù)列{an}滿足a3=15，a4+a6=22，Sn為{an}的前n項(xiàng)和．
（1）求通項(xiàng)公式an及Sn；
（2）設(shè){bn-an}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知方程x2+（2+a）x+1+a+b=0的兩根是x1，x2，且0＜x1＜1＜x2，則
b
a
的取值范圍是（　�。�
A、（-2，-
2
3
）
B、[-2，-
2
3
）
C、（-1，-
2
3
）
D、（-2，-1）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知正三棱錐P-ABC的每個(gè)側(cè)面是頂角為30°，腰長(zhǎng)為4的三角形，E，F(xiàn)分別是PB，PC上的點(diǎn)，則△AEF的周長(zhǎng)的最小值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f（x）=x2-4mx+1在[-2，+∞）為增函數(shù)，則m的取值范圍是
 
．

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同步練習(xí)冊(cè)答案