Question

如圖所示，在直角坐標系xOy中，射線OA在第一象限，且與x軸的正半軸成定角60°，動點P在射線OA上運動，動點Q在y軸的正半軸上運動，△POQ的面積為2

3

．
（1）求線段PQ中點M的軌跡C的方程；
（2）R₁，R₂是曲線C上的動點，R₁，R₂到y(tǒng)軸的距離之和為1，設u為R₁，R₂到x軸的距離之積．問：是否存在最大的常數(shù)m，使u≥m恒成立？若存在，求出這個m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）求出OA的方程，設出M(x，y)，P(a，

3

a)，Q(0，b)，利用中點坐標公式，三角形的面積公式，消去a，b得點M的軌跡C的方程．
（2）設R₁（x₁，y₁），R₂（x₂，y₂），則x₁+x₂=1，推出u的表達式，令t=x₁•x₂則0＜t≤

1

4

，推出u=3(t+

2

t

-2)，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，求出最大的常數(shù)m=

75

4

使u≥m恒成立．

解答：解：（1）射線OA：y=

3

x(x＞0)．（1分）
設M(x，y)，P(a，

3

a)，Q(0，b)（a＞0，b＞0），
則a=2x，

3

a+b=2y，（3分）
又因為△POQ的面積為2

3

，
所以ab=4

3

；（4分）
消去a，b得點M的軌跡C的方程為：

3

x2-xy+

3

=0（x＞0，y＞0）．（7分）
（2）設R₁（x₁，y₁），R₂（x₂，y₂），則x₁+x₂=1，（8分）
所以u=y1y2=

3

(x1+

1

x1

)•

3

(x2+

1

x2

)
=3(x1•x2+

1

x1•x2

+

x2

x1

+

x1

x2

)=3(x1•x2+

2

x1•x2

-2)（9分）
令t=x₁•x₂則0＜t≤

1

4

，所以有u=3(t+

2

t

-2)，（11分）
則有：當0＜t≤

1

4

時，u/=3(1-

2

t2

)＜0，
所以u=3(t+

2

t

-2)在(0，

1

4

]上單調遞減，
所以當t=

1

4

時，umin=

75

4

，（13分）
所以存在最大的常數(shù)m=

75

4

使u≥m恒成立．（14分）

點評：本題中檔題，考查與直線有關的函數(shù)的最值問題曲線的軌跡方程的求法，導數(shù)的應用，單調性常常利用導數(shù)求解；考查計算能力，轉化思想，是有難度的中檔題，�？碱}型．