【題目】如圖,直線AB經(jīng)過⊙O上一點C,⊙O的半徑為3,△AOB是等腰三角形,且C是AB中點,⊙O交直線OB于E、D.

(1)證明:直線AB與⊙O相切;
(2)若∠CED的正切值為 ,求OA的長.

【答案】
(1)解:連接OC,

∵OA=OB,CA=CB,

∴OC⊥AB,

∴AB是⊙O的切線,即直線AB與⊙O相切.


(2)證明:依題意知,DE是直徑,

∴∠ECD=90°,

∴在Rt△ECD中,由tan∠CED= ,得 ,

∵AB是⊙O的切線,

∴∠BCD=∠E,

又∵∠CBD=∠EBC,

∴△BCD∽△BEC,

,設(shè)BD=x,則BC=2x,

又BC2=BDBE,

∴(2x)2=x(x+6),解得x1=0,x2=2,

∵BD=x>0,

∴BD=2,

∴OA=OB=BD+OD=3+2=5.


【解析】(1)連接OC,證明:OC⊥AB,即可證明直線AB與⊙O相切;(2)證明△BCD∽△BEC,可得 ,利用切割線定理,求OA的長.

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分組

等待時間(分鐘)

人數(shù)

第一組

[0,5)

10

第二組

[5,10)

a

第三組

[10,15)

30

第四組

[15,20)

10


(1)求出a的值;要在這些乘客中用分層抽樣的方法抽取10人,在這10個人中隨機抽取3人至少一人來自第二組的概率;
(2)從這10人中隨機抽取3人進行問卷調(diào)查,設(shè)這3個人共來自X個組,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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