Question

20．若m²+n²=t²（m，n，t為實(shí)數(shù)，且t≠0），則$\frac{n}{m-2t}$的取值集合是$[-\frac{\sqrt{3}}{3}，\frac{\sqrt{3}}{3}]$．

Answer 1

分析 由m²+n²=t²（m，n，t為實(shí)數(shù)，且t≠0），可得$（\frac{m}{t}）^{2}+（\frac{n}{t}）^{2}$=1．令$\frac{m}{t}$=sinθ，$\frac{n}{t}$=cosθ．則$\frac{n}{m-2t}$=$\frac{\frac{n}{t}}{\frac{m}{t}-2}$=$\frac{cosθ}{sinθ-2}$，轉(zhuǎn)化為經(jīng)過點(diǎn)P（2，0）的直線y=k（x-2）與圓x²+y²=1有交點(diǎn)，即可得出．

解答 解：∵m²+n²=t²（m，n，t為實(shí)數(shù)，且t≠0），∴$（\frac{m}{t}）^{2}+（\frac{n}{t}）^{2}$=1．令$\frac{m}{t}$=sinθ，$\frac{n}{t}$=cosθ．
則$\frac{n}{m-2t}$=$\frac{\frac{n}{t}}{\frac{m}{t}-2}$=$\frac{cosθ}{sinθ-2}$，
轉(zhuǎn)化為經(jīng)過點(diǎn)P（2，0）的直線y=k（x-2）與圓x²+y²=1有交點(diǎn)，
∴$\frac{|2k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$≤1，化為：k²$≤\frac{1}{3}$，解得$-\frac{\sqrt{3}}{3}$≤k$≤\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$[-\frac{\sqrt{3}}{3}，\frac{\sqrt{3}}{3}]$．

點(diǎn)評 本題考查了直線與圓相交問題、點(diǎn)到直線的距離公式、換元法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．