Question

過(guò)拋物線y²=4x的焦點(diǎn)，作傾斜角為α的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=

16

3

則α=

 

．

Answer 1

分析：分α=90⁰時(shí)，易知不成立，當(dāng)α≠90⁰時(shí)，設(shè)直線方程為：y=tanα（x-1），與拋物線方程聯(lián)立，再由韋達(dá)定理和拋物線過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)公式求得其傾斜角．

解答：解：當(dāng)α=90⁰時(shí)，|AB|=4不成立
當(dāng)α≠90⁰時(shí)，設(shè)直線方程為：y=tanα（x-1）
與拋物線方程聯(lián)立得：（tanα）²x²-（2（tanα）²+4）x+（tanα）²=0
∴由韋達(dá)定理得：x1+x2=

2(tanα)2+4

(tanα)2

∴|AB|=x₁+x₂+p=

2(tanα)2+4

(tanα)2

+2=

16

3

∴tanα=±

3

∴α=60⁰或120⁰
故答案為：60⁰或120⁰

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與拋物線的位置及弦長(zhǎng)公式，特別是拋物線過(guò)焦點(diǎn)的弦，要靈活地選擇公式，提高解題效率．