Question

5．研究函數$f（x）=\frac{{{x^2}+3}}{{{x^2}-4}}$的性質，并作出其圖象．

Answer 1

分析 根據已知中函數$f（x）=\frac{{{x^2}+3}}{{{x^2}-4}}$的解析式，畫出函數的圖象，數形結合，可得函數的定義域，奇偶性，單調性等性質．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）函數的定義域為{x/x∈R，x≠±2}…（1分）
（2）函數的奇偶性：∵$f（-x）=\frac{{{{（{-x}）}^2}+3}}{{{{（{-x}）}^2}-4}}=\frac{{{x^2}+3}}{{{x^2}-4}}=f（x）$
∴f（x）是偶函數…（3分）
（3）∵$f（x）=\frac{{{x^2}+3}}{{{x^2}-4}}=1+\frac{7}{{{x^2}-4}}≠1$，當x∈[0，2）時，$f（x）≤-\frac{3}{4}$且遞減；
當x∈（2，+∞）時，f（x）＞1，遞減且以直線x=2，y=1為漸近線；
又f（x）是偶函數
∴f（x）當x∈（-2，0]時，$f（x）≤-\frac{3}{4}$且遞增；
當x∈（-∞，-2）時，f（x）＞1，遞增且以直線x=-2，y=1為漸近線；…（8分）
（4）函數f（x）的圖象如圖所示．…（12分）

點評 本題考查的知識點是函數的圖象，函數的性質，本題中的函數即為所謂的“囧函數”，要求學生掌握．