Question

已知f（x）是二次函數(shù)，f′（x）是它的導(dǎo)函數(shù)，且對(duì)任意的x∈R，f′（x）=f（x+1）+x²恒成立．
（1）求f（x）的解析表達(dá)式；
（2）設(shè)t＞0，曲線C：y=f（x）在點(diǎn)P（t，f（t））處的切線為l，l與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為S（t）．求S（t）的最小值．

Answer 1

分析：（1）可以現(xiàn)設(shè)出二次函數(shù)的表達(dá)式，結(jié)合信息獲得多項(xiàng)式相等進(jìn)而利用對(duì)應(yīng)系數(shù)相等解得參數(shù)，即可明確函數(shù)解析式；
（2）結(jié)合函數(shù)的解析式通過(guò)求導(dǎo)很容易求的在點(diǎn)P（t，f（t））處的切線l，由此即可表示出三角形的面積關(guān)于t的函數(shù)S（t）．從而利用導(dǎo)函數(shù)知識(shí)即可求得函數(shù)S（t）的最小值．

解答：解：（1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c（其中a≠0），
則f'（x）=2ax+b，（2分）f（x+1）=a（x+1）²+b（x+1）+c=ax²+（2a+b）x+a+b+c．
由已知，得2ax+b=（a+1）x²+（2a+b）x+a+b+c，
∴

a+1=0 2a+b=2a a+b+c=b

，
解之，得a=-1，b=0，c=1，
∴f（x）=-x²+1．

（2）由（1）得，P（t，1-t²），切線l的斜率k=f'（t）=-2t，
∴切線l的方程為y-（1-t²）=-2t（x-t），即y=-2tx+t²+1．
從而l與x軸的交點(diǎn)為A(

t2+1

2t

 ， 0)，l與y軸的交點(diǎn)為B（0，t²+1），
∴S(t)=

(t2+1)2

4t

（其中t＞0）．
∴S ′(t)=

(t2+1)( 3 t+1)( 3 t-1)

4t2

．
當(dāng)0＜t＜

3

3

時(shí)，S'（t）＜0，S（t）是減函數(shù)；
當(dāng)t＞

3

3

時(shí)，S'（t）＞0，S（t）是增函數(shù)．
∴[S(t)]min=S(

3

3

)=

4 3

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，以及運(yùn)算求解能力．在解答過(guò)程當(dāng)中，求導(dǎo)的能力、運(yùn)算的能力、問(wèn)題轉(zhuǎn)換的能力以及數(shù)形結(jié)合的能力都得到了充分的體現(xiàn)，值得同學(xué)們體會(huì)反思．