直線l過點(diǎn)P(8,6),且與兩坐標(biāo)軸圍成等腰直角三角形,求直線l的方程.

答案:x-y-2=0$x+y-14=0
解析:

思維分析1:直線l與兩坐標(biāo)軸圍成等腰直角三角形,必須且只需直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等且不為0

解法1:設(shè)直線l的方程為,或(a≠0)

當(dāng)直線l的方程為時(shí),

∵點(diǎn)P(86)在直線l上,

,∴a14

∴直線l的方程為xy14=0

當(dāng)直線l的方程為時(shí),同理可求得a=2

∴直線l的方程為xy2=0

綜上可知,適合題意的直線l的方程為xy2=0,或xy140

思維分析2:所求直線與兩坐標(biāo)軸圍成三角形,可知直線的斜率存在且不為零.因此,設(shè)出直線方程的點(diǎn)斜式.

解法2:設(shè)所求直線的方程為ykxb(k≠0,b≠0)

x0,得y=b;y=0,得

∵直線l與兩坐標(biāo)軸圍成等腰直角三角形,

又∵,∴

①當(dāng)是k=1時(shí),直線l的方程為yx+b

∵點(diǎn)P(8,6)在該直線上,∴b=2

∴直線l的方程為yx2,即xy20

②當(dāng)k=-1時(shí),直線l的方程為y=x+b

∵點(diǎn)P(8,6)在該直線上,∴b=14

∴直線l的方程為y=-x14,即xy140

綜上可知,適合題意的直線l的方程為xy20,

xy140

解法3:∵直線l與兩坐標(biāo)軸圍成等腰直角三角形,設(shè)斜邊所在的直線為l,

∴直線l的傾斜角為

∴直線l的斜率為k1,或k=1

又∵l過點(diǎn)P,

∴由點(diǎn)斜式得l的方程為

y6=x8,或y6=(x8)

xy20,或xy14=0

點(diǎn)撥:本題的解法3,直接運(yùn)用了圖形的性質(zhì)和直線的傾斜角的定義,得到了所求直線的傾斜角,進(jìn)而得到了所求直線的斜率,解法1和解法2告訴我們:在用待定系數(shù)法求直線的方程時(shí),要根據(jù)題設(shè)條件,靈活選擇合適的方程形式,要清楚地掌握每種形式的局限性.


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已知直線l1的參數(shù)方程為
x=-3+
2
2
t
y=-
3
2
+
2
2
t
(t是參數(shù)),直線l2的極坐標(biāo)方程為ρ(2sinθ+cosθ)+6=0
(1)求直線l1與直線l2的交點(diǎn)P的坐標(biāo)
(2)若直線l過點(diǎn)P,且與圓C:
x=5cosθ
y=5sinθ
(θ為參數(shù))相交于A、B兩點(diǎn),|AB|=8,求直線l的方程.

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直線l過點(diǎn)P(1,3),且與x、y軸正半軸圍成的三角形的面積等于6的直線方程是(    )

A.3x+y-6=0         B.x+3y-10=0               C.3x-y=0          D.x-3y+8=0

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