Question

f（x）=ax³-3x+1對于x∈[-1，1]總有f（x）≥0成立，則a=

 

．

Answer 1

分析：這類不等式在某個區(qū)間上恒成立的問題，可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值的問題，本題要分三類：①x=0，②x＞0，③x＜0等三種情形，當(dāng)x=0時，不論a取何值，f（x）≥0都成立；當(dāng)x＞0時有a≥

3

x2

-

1

x3

，可構(gòu)造函數(shù)g（x）=

3

x2

-

1

x3

，然后利用導(dǎo)數(shù)求g（x）的最大值，只需要使a≥g（x）_max，同理可得x＜0時的a的范圍，從而可得a的值．

解答：解：若x=0，則不論a取何值，f（x）≥0都成立；
當(dāng)x＞0即x∈（0，1]時，f（x）=ax³-3x+1≥0可化為：a≥

3

x2

-

1

x3

設(shè)g（x）=

3

x2

-

1

x3

，則g′（x）=

3(1-2x)

x4

，
所以g（x）在區(qū)間（0，

1

2

]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[

1

2

，1]上單調(diào)遞減，
因此g（x）_max=g（

1

2

）=4，從而a≥4；
當(dāng)x＜0即x∈[-1，0）時，f（x）=ax³-3x+1≥0可化為：a≤

3

x2

-

1

x3

，
g（x）=

3

x2

-

1

x3

在區(qū)間[-1，0）上單調(diào)遞增，
因此g（x）_min=g（-1）=4，從而a≤4，綜上a=4．
答案為：4

點評：本題考查的是含參數(shù)不等式的恒成立問題，考查分類討論，轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法，利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最大值，最小值等知識與方法．在討論時，容易漏掉x=0的情形，因此分類討論時要特別注意該問題的解答．