Question

已知函數(shù)f（x）=-

1

3

x3-

1

3

x2+

5

3

x-4，x∈[0，+∞)．
（1）求f（x）的極值；
（2）當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，求f（x）的值域；
（3）設(shè)a≥1，函數(shù)g（x）=x³-3a²x-2a，x∈[0，1]，若對(duì)于任意x₁∈[0，1]，總存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值．
（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性和最值確定函數(shù)的值域．
（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值范圍，利用g（x₀）=f（x₁）成立，求a的取值范圍．

解答：解：（1）f′(x)=-x2-

2

3

x+

5

3

，令f'（x）=0，解得：x=-

5

3

（舍）或x=1
當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f'（x）≥0；當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＜0，
所以f（x）_極大值=f（1）=3，無(wú)極小值．
（2）由 （1）知f（x）在區(qū)間[0，1]單調(diào)遞增，所以f（x）在區(qū)間[0，1]的值域?yàn)閇f（0），f（1）]，即[-4，-3]．
（3）因?yàn)間'（x）=3x²-3ax且a≥1，所以當(dāng)x∈[0，1]時(shí)g'（x）≤0，所以g（x）在區(qū)間[0，1]單調(diào)遞減，
所以g（x）在區(qū)間[0，1]的值域?yàn)閇g（1），g（0）]，即[1-3a²-2a，-2a]．
又對(duì)于任意x₁∈[0，1]，總存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立等價(jià)為f（x）在區(qū)間[0，1]的值域⊆g（x）在區(qū)間[0，1]的值域，
即[-4，-3]⊆[1-3a²-2a，-2a]，
即

1-3a2-2a≤-4 -2a≥-3

，解得：1≤a≤

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及求函數(shù)的最值問(wèn)題，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．