Question

已知函數(shù)f（x）=（x²+kx+k）e^x，
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，則f'（x）≤0即可，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（Ⅱ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性之間的關(guān)系求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：f'（x）=（2x+k）e^x+（x²+kx+k）e^x=（x²+kx+2x+2）e^x…（2分）
整理得f'（x）=（x+k）（x+2）e^x                  …..（3分）
（1）若函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，則在x∈（0，1）上f'（x）≤0，
由于e^x＞0∴當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，有，（x+k）（x+2）≤0
由二次函數(shù)y=（x+k）（x+2）的圖象可知，-k≥1，即k≤-1時(shí)滿足題意…（5分）
（2）若k＞2，有-k＜-2，則
當(dāng)x∈（-∞，-k）時(shí)，（x+k）（x+2）＞0，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（-k，-2）時(shí)，（x+k）（x+2）＜0，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（-2，+∞）時(shí)，（x+k）（x+2）＞0，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
…（8分）
若k=2，則f'（x）=（x+2）²e^x≥0，且僅當(dāng)x=-2時(shí)f'（x）=0，
所以函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；..…（9分）
若k＜2，有-k＞-2，則
當(dāng)x∈（-∞，-2）時(shí)，（x+k）（x+2）＞0，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（-2，-k）時(shí)，（x+k）（x+2）＜0，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（-k，+∞）時(shí)，（x+k）（x+2）＞0，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
…..（12分）
綜上，當(dāng)k＞2時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-k）和（-2，+∞），
單調(diào)遞減區(qū)間是（-k，-2）；
當(dāng)k=2時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，+∞），無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；
當(dāng)k＜2時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-2）和（-k，+∞），
單調(diào)遞減區(qū)間是（-2，-k）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，要求熟練掌握導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．