已知A、B、C是長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓上的三點(diǎn)，點(diǎn)A是長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)，BC過(guò)橢圓中心O，且·=0，|BC|=2|AC|.

（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求橢圓的方程；

（2）如果橢圓上兩點(diǎn)P、Q，使∠PCQ的平分線垂直AO，是否總存在實(shí)數(shù)λ,使=λ?請(qǐng)給出說(shuō)明.

解：（1）設(shè)O為原點(diǎn)，OA為x軸建立直角坐標(biāo)系，則A（2，0），設(shè)橢圓方程為=1.

∵·=0,又|BC|=2|AC|,

∴△OAC為等腰直角三角形，

∴C（1，±1）.

    將C（1，±1）代入橢圓方程得b2=,即橢圓方程為+y2=1.

（2）不妨取C（1，1），依題意可設(shè)PC：y=k（x-1)+1,QC:y=-k(x-1)+1.

∵C(1,1)在橢圓上，x=1是方程（1+3k2）x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0的一個(gè)根，

∴xP·1=,用-k代換xP中的k得xQ=,

∴kPQ==.

∵B(-1,-1),∴kAB=,∴∥,因此總存在實(shí)數(shù)λ,使=λ.


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2010•上虞市二模）已知A、B、C是長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓上的三點(diǎn)，點(diǎn)A是長(zhǎng)軸的一個(gè)頂點(diǎn)，BC過(guò)橢圓中心O，如圖，且
AC
•
BC
=0，|BC|=2|AC|．
（1）求橢圓的方程；
（2）如果橢圓上兩點(diǎn)P、Q使∠PCQ的平分線垂直AO，則總存在實(shí)數(shù)λ，使
PQ
=λ
AB
，請(qǐng)給出證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示，已知A、B、C是長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓上的三點(diǎn)，點(diǎn)A是長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)，BC過(guò)橢圓中心O，且
AC
•
BC
=0，|BC|=2|AC|．
（I）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求橢圓方程；
（II）如果橢圓上有兩點(diǎn)P、Q，使∠PCQ的平分線垂直于AO，證明：存在實(shí)數(shù)λ，使
PQ
=λ
AB
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知A、B、C是長(zhǎng)軸為4的橢圓上的三點(diǎn)，點(diǎn)A是長(zhǎng)軸的右頂點(diǎn)，BC過(guò)橢圓中心O，且
AC
•
BC
=0，|
BC
|=2|
AC
|，
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若過(guò)C關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)D作橢圓的切線DE，則AB與DE有什么位置關(guān)系？證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

２１.(本題12分)

如圖，已知A、B、C是長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4   的橢圓上的三點(diǎn)，點(diǎn)A是長(zhǎng)軸的右頂點(diǎn)，BC過(guò)橢圓中心O，且·=0，，

（1）求橢圓的方程；

（2）若過(guò)C關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)D作橢圓的切線DE，則AB與DE有什么位置關(guān)系？證明你的結(jié)論.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011-2012學(xué)年河南省南陽(yáng)一中高三（下）第六次周考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知A、B、C是長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓上的三點(diǎn)，點(diǎn)A是長(zhǎng)軸的一個(gè)頂點(diǎn)，BC過(guò)橢圓中心O，如圖，且，|BC|=2|AC|．
（1）求橢圓的方程；
（2）如果橢圓上兩點(diǎn)P、Q使∠PCQ的平分線垂直AO，則總存在實(shí)數(shù)λ，使，請(qǐng)給出證明．

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