Question

甲乙兩人輪流拋擲一枚正方體骰子（6個面分別標有1，2，3，4，5，6）各一次，將向上面上的點數(shù)分別記為a，b，點數(shù)差記為ξ=|a-b|
（1）游戲約定：若ξ≤2，則甲獲勝；否則乙獲勝．這樣的約定是否公平，為什么？
（2）求關(guān)于x的方程kx²-ξx-1=0（k∈N^*）在（2，3）上有且僅有一個根的概率．

Answer 1

分析：（1）由已知中正方體骰子6個面分別標有1，2，3，4，5，6，可得數(shù)差ξ=|a-b|∈{0，1，2，3，4，5}，列舉出所有的情況后，計算ξ≤2的個數(shù)，即可得到答案．
（2）若方程kx²-ξx-1=0（k∈N^*）在（2，3）上有且僅有一個根，則函數(shù)f（x）=kx²-ξx-1在區(qū)間（2，3）上有且只有一個零點，即f（2）•f（3）＜0，構(gòu)造不等式后，解不等式即可得到答案．

解答：解：（1）不公平．
由題知，

a、b∈{1，2，3，4，5，6}，ξ∈{0，1，2，3，4，5} ξ=0，(a，b)可能是(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)有6種可能 ξ=1，(a，b)可能是(1，2)，(2，1)，(2，3)，(3，2)，(3，4)，(4，3)，(4，5) (5，4)，(5，6)，(6，5)有10種可能 ξ=2，(a，b)可能是(1，3)，(3，1)，(2，4)，(4，2)，(3，5)，(5，3)，(4，6)(6，4)有8種可能 ξ=3，(a，b)可能是(1，4)，(4，1)，(2，5)，(5，2)，(3，6)，(6，3)有6種可能 ξ=4，(a，b)可能是(1，5)，(5，1)，(2，6)，(6，2)有4種可能 ξ=0，(a，b)可能是(1，6)，(6，1)有2種可能 基本事件總數(shù)36種 P(ξ≤2)= 6+10+8 36 = 2 3 由于P(ξ≤2)＞ 1 2 故不公平

（2）

記f(x)=kx2-ξx-1 ＜1＞當f(2)=0時，ξ=2k- 1 2 ，舍去． ＜2＞當f(3)=0時，ξ=3k- 1 3 ，舍去． ＜3＞當f(2)f(3)＜0時，(4k-1-2ξ)(9k-1-3ξ)＜0，(k∈N*) 2k- 1 2 ＜ξ＜3k- 1 3 ， 當k=1時， 3 2 ＜ξ＜ 8 3 ，ξ=2， P(ξ=2)= 8 36 = 2 9 當k=2時， 7 2 ＜ξ＜ 17 3 ，ξ=4，5 P(ξ≥3)= 4+2 36 = 1 6 當k≥3時，ξ＞ 11 2 ，不可能． 綜上所述，當k=1時，所求概率為 2 9 ，當k=2時，所求概率為 1 6 ，當k≥3時， 所求概率為0.

點評：本題考查的知識點是列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率，其中（2）中關(guān)鍵是構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點問題．