Question

橢圓與直線x+y-1=0相交于P、Q兩點，且OP⊥OQ（O為原點），
（1）求的值；
（2）若橢圓離心率在上變化時，求橢圓長軸的取值范圍．

Answer 1

解：（1）聯(lián)立方程組
設(shè)P（x₁y₁）、Q（x₂y₂），
∵OP⊥OQ∴，即x₁x₂+y₁y₂=0
∵y₁=1-x₁y₂=1-x₂
∴x₁x₂+（1-x₁）（1-x₂）=0，即2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0
將代入上式得：
∴a²+b²=2a²b²故
（2）∵，∴
由（1）知，∴
∵，∴，
∴，∴
又∵a＞0，∴
故橢圓長軸的取值范圍是[，]．
分析：（1）聯(lián)立方程組，設(shè)P（x₁y₁）、Q（x₂y₂），由OP⊥OQ，知x₁x₂+y₁y₂=0，由y₁=1-x₁y₂=1-x₂，知2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0，由此能導(dǎo)出．
（2）由，知，由，知由此能求出橢圓長軸的取值范圍．
點評：本題考查橢圓和直線 的位置關(guān)系及其應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．