解:(1)求導函數(shù)可得f'(x)=
①當a=0時,f'(x)>0時x>0,即函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,f'(x)<0時x<0,即函數(shù)f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減;
②當a≠0且|a|≤1時,由f'(x)=0,得ax
2-2x+a=0,∴
,
1°a=1時,f'(x)≤0,∴函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減;
2°a=-1時,f'(x)≥0,∴函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增;
3°當-1<a<0時,由f'(x)>0可得x<x
1或x>x
2,即函數(shù)f(x)在(-∞,
)、(
,+∞)上單調(diào)遞增,在(
,
)上單調(diào)遞減;
4°當0<a<1時,由f'(x)>0可得x
1<x<x
2,即函數(shù)f(x)在(
,
)上單調(diào)遞增,在(-∞,
)、(
,+∞)上單調(diào)遞減;
(2)f(x)的圖象與g(x)的圖象恰有四個不同的交點,則f(x)=g(x)有四個根,即a=ln(x
2+1)-
令G(x)=ln(x
2+1)-
,則 G′(x)=
x | (-∞,-1) | -1 | (-1,0) | 0 | (0,1) | 1 | (1,+∞) |
G′(x) | + | 0 | - | 0 | + | | |
G(x) | | ln2 | | | | ln2 | |
∴x=0時,函數(shù)取得極小值
,x=±1時,函數(shù)確定極大值 ln2
∴a∈(
,ln2).
分析:(1)求導函數(shù),對a進行分類討論:①當a=0時,f'(x)>0時x>0,f'(x)<0時x<0;②當a≠0且|a|≤1時,考慮a=1,a=-1,-1<a<0,0<a<1利用導數(shù)的正負,可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)f(x)的圖象與g(x)的圖象恰有四個不同的交點,則f(x)=g(x)有四個根,即a=ln(x
2+1)-
,構(gòu)造新函數(shù),確定函數(shù)的極值,即可求得a的取值范圍.
點評:本題考查導數(shù)知識的運用,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查分類討論的數(shù)學思想,考查函數(shù)圖象的交點,考查函數(shù)的極值,綜合性強.