Question

已知P是橢圓+=1上的一點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂是該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若△PF₁F₂的內(nèi)切圓的半徑為，則tan∠F₁PF₂=（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：作出圖形，利用內(nèi)切圓的性質(zhì)與橢圓的定義及半角公式即可求得tan∠F₁PF₂的值．
解答：解：根據(jù)題意作圖如下，設(shè)△PF₁F₂的內(nèi)切圓心為M，則內(nèi)切圓的半徑|MQ|=，設(shè)圓M與x軸相切于R，

∵橢圓的方程為+=1，
∴橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
∴|F₁F₂|=2，設(shè)|F₁R|=x，則|F₂R|=2-x，
依題意得，|F₁S|=|F₁R|=x，|F₂Q|=|F₂R|=2-x，
設(shè)|PS|=|PQ|=y，
∵|PF₁|=x+y，|PF₂|=（2-x）+y，|PF₁|+|PF₂|=4，
∴x+y+（2-x）+y=4，
∴y=1，即|PQ|=1，又|MQ|=，MQ⊥PQ，
∴tan∠MPQ===，
∴tan∠F₁PF₂=tan2∠MPQ==．
故選B．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查內(nèi)切圓的性質(zhì)及半角公式，考查分析問題，通過轉(zhuǎn)化思想解決問題的能力，屬于難題．