Question

（1）求不等式

2-x

x+4

＞0的解集
（2）設z的共軛復數(shù)是

.

z

，若z+

.

z

=4，z×

.

z

=8，求

. z

z

（3）已知函數(shù)f（x）=(

1

3

)ax2-4x+3，若a=-1，求f（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）直接化分式不等式為整式不等式求解；
（2）設出復數(shù)z的代數(shù)形式，由已知列式求出其實部和虛部，則答案可求；
（3）把a=-1代入函數(shù)f（x）的解析式，分析內層函數(shù)的單調區(qū)間，然后利用復合函數(shù)的單調性求得答案．

解答：解：（1）由

2-x

x+4

＞0，得（x+4）（2-x）＞0，即（x+4）（x-2）＜0，解得-4＜x＜2．
∴不等式

2-x

x+4

＞0的解集為（-4，2）．
（2）設z=a+bi（a，b∈R），則

.

z

=a-bi．
由z+

.

z

=4，z×

.

z

=8，得

2a=4 a2+b2=8

，解得

a=2 b=-2

或

a=2 b=-2

．
∴z=2-2i或z=2+2i．
則

. z

z

=

2+2i

2-2i

=

1+i

1-i

=

(1+i)2

(1-i)(1+i)

=

2i

2

=i，
或

. z

z

=

2-2i

2+2i

=

1-i

1+i

=

(1-i)2

(1+i)(1-i)

=

-2i

2

=-i；
（3）由a=-1，∴函數(shù)f（x）=(

1

3

)ax2-4x+3=(

1

3

)-x2-4x+3，
令t=-x²-4x+3，則f（x）=g（t）=(

1

3

)t．
外層函數(shù)g（t）=(

1

3

)t為減函數(shù)，內層函數(shù)t=-x²-4x+3是開口向下的拋物線，對稱軸方程為x=-2．
∴函數(shù)t=-x²-4x+3在（-∞，-2）上為增函數(shù)，則f（x）在（-∞，-2）上為減函數(shù)；
函數(shù)t=-x²-4x+3在（-2，+∞）上為減函數(shù)，則f（x）在（-2，+∞）上為增函數(shù)．
∴f（x）的單調減區(qū)間為（-∞，-2），增區(qū)間為（-2，+∞）．

點評：本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了分式不等式的解法，訓練了復合函數(shù)的單調性的求法，復合函數(shù)的單調性遵循“同增異減”的原則，是中檔題．