Question

(本題滿分14分)已知函數(shù)。
（Ⅰ）若函數(shù)在上為增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求在上的最大值和最小值；
（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，求證：對(duì)大于的任意正整數(shù)，都有 。

Answer 1

解：（I）     ……………1分
∵ 函數(shù)在上為增函數(shù)
∴ 對(duì)恒成立，              ……………………2分
∴ 對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立
∴                                               ……………………4分
（II）當(dāng)時(shí)，，
∴ 當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，         ………………6分
∴在區(qū)間上有唯一極小值點(diǎn)，故 ……7分
又  
∵     ∴ 
∴ 在區(qū)間上的最大值
綜上可知，函數(shù)在上的最大值是，最小值是。………………9分
（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)。
當(dāng)時(shí)，令，則，故 ……………………11分
∴ 即………12分
∴ 
∴   …………………13分
∴ 
即對(duì)大于的任意正整數(shù)，都有    ……………………14分

略