Question

5．△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若A=2B，則$\frac{c}+\frac{2b}{a}$的取值范圍為（2，4）．

Answer 1

分析 先根據(jù)正弦定理化簡(jiǎn)整理可得$\frac{c}+\frac{2b}{a}$=4cos²B+$\frac{1}{cosB}$-1，設(shè)$cosB=t∈（{\frac{1}{2}，1}）$，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求出其值域即可．

解答 解：.$\frac{c}+\frac{2b}{a}=\frac{sinC}{sinB}+\frac{2sinB}{sinA}=\frac{sin3B}{sinB}+\frac{2sinB}{sin2B}=\frac{sinBcos2B+cosBsin2B}{sinB}+\frac{1}{cosB}$
=cos2B+2cos²B+$\frac{1}{cosB}=4{cos^2}B+\frac{1}{cosB}$-1．
又2B∈（0，π），且A+B=3B∈（0，π），
所以$B∈（{0，\frac{π}{3}}）$．
設(shè)$cosB=t∈（{\frac{1}{2}，1}）$，
令$\frac{c}+\frac{2b}{a}=4{t^2}+\frac{1}{t}$-1=f（t），
則f'（t）=8t-$\frac{1}{t^2}=\frac{{8{t^3}-1}}{t^2}$＞0，
故f（t）在$（{\frac{1}{2}，1}）$上單調(diào)遞增，
所以2＜f（t）＜4．
所以$\frac{c}+\frac{2b}{a}$的取值范圍為（2，4），
故答案為：（2，4）

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求值，主要考查二倍角公式和正弦定理的運(yùn)用，同時(shí)考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，屬于中檔題．