已知向量
m
=(sinx，2cosx)，
n
=(2cosx，cosx)，f(x)=
m
•
n
，(x∈R)，
（1）求f（x）的最小正周期及對稱中心； 
 （2）求f（x）在x∈[0，
π
2
]上的值域；
（3）令g（x）=f（x+φ）-1，若g（x）的圖象關于原點對稱，求φ的值．
分析：（1）通過向量的數(shù)量積以及二倍角公式化簡函數(shù)為 一個角的一個三角函數(shù)的形式，然后直接求f（x）的最小正周期及對稱中心； 
 （2）通過x∈[0，
π
2
]，求出函數(shù)的相位的范圍，利用正弦函數(shù)的值域，直接求解函數(shù)的值域；
（3）通過g（x）=f（x+φ）-1，求出g（x）的表達式，然后利用圖象關于原點對稱，求φ的值．
解答：解：
f(x)=
m
•
n
=2sinx•cosx+2cos2x=sin2x+cos2x+1

 
=
2
sin(2x+
π
4
)+1

 
①T=
2π
2
=π，令2x+
π
4
=kπ?x=-
π
8
+
kπ
2
，k∈z

對稱中心為(-
π
8
+2kπ，1)   k∈z．
②由
 
x∈[0，
π
2
]?2x+
π
4
∈[
π
4
，
5
4
π]

 
?sin(2x+
π
4
)∈[-
2
2
，1]

 
∴ f(x)∈[0，
2
+1]

③由題意
 
g(x)=f(x+φ)-1=
2
sin(2x+2φ+
π
4
)+1-1

 
=
2
sin(2x+2φ+
π
4
)

函數(shù)是奇函數(shù)，
 
∴  g(0)=
2
sin(2φ+
π
4
)=0

 
∴  2φ+
π
4
=kπ?φ=-
π
8
+
kπ
2
，k∈z
點評：本題考查正弦函數(shù)的對稱性，平面向量數(shù)量積的運算，兩角和與差的正弦函數(shù)，三角函數(shù)的周期性及其求法，正弦函數(shù)的定義域和值域的知識，考查計算能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
m
=(sinθ，2cosθ)，
n
=(
3
，-
1
2
)，若
m
⊥
n
，則sin2θ的值為
 

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
m
=(sinωx，cosωx)，
n
=(cosωx，cosωx)(ω＞0)，設函數(shù)f(x)=
m
•
n
且f（x）的最小正周期為π．
（1）求f（x）的單調遞增區(qū)間；
（2）先將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，然后將圖象向下平移
1
2
個單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）在區(qū)間上[0，
3π
4
]上的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
m
=(sinθ，2cosθ)，
n
=(
3
，-
1
2
)，當θ∈[0，π]時，函數(shù)f(θ)=
m
•
n
的值域是
[-1，2]
[-1，2]
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•上海二模）已知向量
m
=(sin(2x+
π
6
)，sinx)，
n
=（1，sinx），f（x）=
m
•
n
．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小正周期及單調遞減區(qū)間；
（2）記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若f（
B
2
）=
2
+1
2
，b=
5
，c=
3
，求a的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知向量
m
=(sin 
A
2
，cos 
A
2
)，
n
=(cos 
A
2
，-cos 
A
2
)，且2
m
•
n
+|
m
|=
2
2
，
AB
•
AC
=1．
（1）求角A的大小
（2）求△ABC的面積．

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